PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 3. Jens Mammen, 03.01.95
uægte delmængde af X, hvorimod man siger, at Y er en ægte delmængde (engelsk:
proper subset) af X, hvis X ikke samtidig er en delmængde af Y.
[...]
Som det huskes fra Studiebrev 2, er den tomme mængde Ø en mængde med 0
(nul) elementer. Altså gælder det for alle elementer i Ø, at de også er elementer
i en vilkårlig anden mængde X. Ø er derfor delmængde i enhver anden mængde
og er specielt en delmængde af sig selv.
Mængden Y = {b} har derfor to delmængder, nemlig mængderne Ø og {b}, men
den har som sagt netop ét element, nemlig b. Det er vigtigt, at man skelner
skarpt mellem, at noget "er et element i" en mængde og, at noget "er en delmængde
af" en mængde. Bl.a. fordi de altid har forskelligt antal, som vi vender
tilbage til i Studiebrev 4.
Den tomme mængde Ø har én delmængde, nemlig Ø, men den indeholder ingen
(dvs. nul) elementer.
Mængden X = {a,b,c} har følgende 8 delmængder: Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b},
{a,c}, {b,c} og {a,b,c}. Læg mærke til, at der er 3 elementer i X, og at 8 er 2 3
[…]. De forskellige delmængder fremkommer netop ved alle de måder, hvorpå
man kan kombinere de to muligheder for hvert element, nemlig at være med
eller ikke være med i delmængden. Generelt har en endelig mængde med n
elementer netop 2 n delmængder […]. Da 2 0 = 1, passer reglen også på den
tomme mængde. Jeg vender som sagt tilbage til dette i Studiebrev 4.
Lad os nu ved P(X), forstå "mængden af delmængder af mængden X". P(X) kaldes
også for "potensmængden af X " (engelsk: The power set of X).
I vores eksempel, hvor X = {a,b,c}, har vi altså, at
P(X) = {Ø,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}},
hvor P(X) har 8 elementer.
I dette tilfælde er ingen af elementerne i P(X) også elementer i X. Det kan
imidlertid godt forekomme i andre tilfælde. Hvis f.eks.
Z = {a,{a}}, så er
P(Z) = {Ø,{a},{{a}},{a,{a}}}, hvor {a} er element i både Z og P(Z).
Eksemplet er lidt spidsfindigt. Men det anføres her for at skærpe adskillelsen
mellem begreberne delmængde og element. Hvis man har forstået eksemplet,
har man fået godt fat i begreberne.
Lad dette være nok foreløbig om begrebet delmængde. Der kommer lidt mere i
Studiebrev 4 angående delmængder af uendelige mængder.
Lad os nu gå ud fra en mængde M, og lad os se på nogle relationer mellem dens
delmængder. Hvis vi udelukkende holder os til delmængder af M, vil vi ofte
26