PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 10. Jens Mammen, 06.06.95
31. Det må nok for en ordens skyld nævnes, at der findes punkter i Mandelbrotmængdens
rand i standardtopologien på R 2 , som kan afgøres at høre til randen
med andre midler end en algoritme, som kan afgøre tilhørsforhold generelt.
Det kan således ret let bevises, at f.eks. punkterne med koordinaterne (-2,0) og
(0.25,0) tilhører randen. (Prøv evt. selv at indsætte værdierne i algoritmen, og
se, hvad der sker!).
At punkterne tilhører randen vil i dette tilfælde sige, at de tilhører Mandelbrotmængden,
men er kontaktpunkter til dens komplement, hvilket igen vil sige, at
enhver omegn til punktet indeholder punkter fra Mandelbrotmængdens komplement,
jfr. Studiebrev 8, afsnit 35-37.
32. Hele denne lange gennemgang af eksemplet med Mandelbrotmængden
skulle tjene til at vise, at en mængde af afgørbare delmængder i en given universalmængde
kan være organiseret som et topologisk rum, og oven i købet som
et rum, der ikke er operationelt symmetrisk og dermed heller ikke algebraisk.
Da nogle af de ikke-tomme åbne mængder var hinandens komplementer, var
der endvidere i eksemplet tale om et ikke-sammenhængende topologisk rum, og
altså et eksempel på et rum i kategori E i vores skema fra Studiebrev 7, afsnit
19, og Studiebrev 8, afsnit 9.
33. Med andre ord findes der ikke-algebraiske og ikke operationelt symmetriske
topologiske rum, hvor de åbne mængder kan interpreteres som afgørbare
mængder. Hermed er ikke uden videre sagt, at alle sådanne topologiske rum kan
interpreteres på denne måde.
Vc Sammenhængen mellem åbenhed i et ikke-algebraisk topologisk rum,
asymmetrisk afgørbarhed, rekursivt numerable mængder og Turing’s
halting problem
34. Som sagt definerede jeg ved hjælp af den i afsnit 12 ovenfor definerede algoritme
Mandelbrotmængden som en delmængde af mængden Q 2 , altså mængden
af alle ordnede par af rationelle tal. Som tidligere sagt, i Studiebrev 4, er
mængden af alle rationelle tal numerabel. Det samme er derfor mængden af alle
ordnede par af rationelle tal, jfr. Studiebrev 8, afsnit 4.
Lad os nu antage, at vi har ordnet alle de rationelle talpar (q1,q2) i en rækkefølge,
altså en uendelig følge: talpar(1), talpar(2), talpar(3) ... etc. Vi kan nu gennemføre
algoritmen på den måde, at den først gennemfører 1. skridt i talpar(1),
derefter 2. skridt i talpar(1) og 1. og 2. skridt i talpar(2), etc., således at den efterhånden
inddrager nye talpar og nye skridt for de talpar, hvor den endnu ikke
133