PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 6. Jens Mammen, 27.03.95
nemlig ikke noget i definitionen på et potentielt nyt axiom, der implicerer, at
ingen af de gamle axiomer er afhængige af det nye. Vi ved blot, at de ikke modsiger
det.
Et nyt axiom kan meget vel gøre nogle af de hidtidige axiomer til theoremer. I
dette tilfælde siger man, at det nye axiom er stærkere end de axiomer, som det
således erstatter.
For at vide, om vi har et nyt axiomsæt, må vi altså for hvert eneste af axiomerne
enten med semantiske midler gennemføre et uafhængighedsbevis eller med deduktive
(syntaktiske) metoder gennemføre en afledning af axiomet som theorem
fra de øvrige axiomer, herunder nødvendigvis det nye. (Metoden er demonstreret
flere steder i DMS).
Netop for den generaliserede kontinuumshypotese er det bevist, at den som
axiom gør både udvalgsaxiomet og kontinuumshypotesen til theoremer.
At kontinuumshypotesen følger af den generaliserede kontinuumshypotese, er
en trivialitet, jfr. Studiebrev 4.
At udvalgsaxiomet følger af den generaliserede kontinuumshypotese (men ikke
af kontinuumshypotesen), er imidlertid ikke nogen trivialitet. Det blev opdaget
og bevist af Adolf Lindenbaum og Alfred Tarski i 1926, men først offentliggjort
af Waclaw Sierpinski i 1947. Beviset forudsætter ikke, at påstandene har axiomstatus,
hvilket jo ikke var kendt hverken i 1926 eller i 1947.
13. Hvorvidt et potentielt axiom er stærkere end nogle af de hidtidige axiomer,
er imidlertid ikke i sig selv noget argument for at godtage det som nyt axiom.
Det afgørende er, om det antages at være et sandt udsagn om det matematiske
genstandsområde, som det udtaler sig om.
Denne sandhed kan ikke bevises formelt. I så fald ville vi nemlig stå over for et
theorem. Dette vil ingen moderne matematikere formentlig betvivle.
Der er imidlertid stadigvæk mindst to måder, hvorpå karakteren af et axioms
sandhed kan forstås, en konventionalistisk og en realistisk, hvor den realistiske
tilsyneladende er den dominerende i dag.
14. Den konventionalistiske opfattelse går ud fra den kendsgerning, at såvel et
axiom som dets negation har en model, dvs. en interpretation. Ellers ville det jo
ikke være et uafhængigt axiom. Altså eksisterer der matematiske mangfoldigheder
eller objekter, der beskrives af såvel axiomet som dets negation.
Valget af axiom afspejler altså valget af, hvilket matematisk domæne eller genstandsområde
vi vil beskrive. Axiomet kan derfor opfattes som en definition af
et matematisk objekt eller et matematisk domæne.
75