PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

IIb Mængdealgebra
Studiebrev 3. Jens Mammen, 03.01.95
I dette afsnit skal vi se på nogle relationer mellem mængder. Nemlig dels, hvordan
mængder kan være delmængder af hinanden, dels hvordan nogle mængder
kan konstrueres ud fra andre mængder ved de såkaldte mængdealgebraiske operationer.
De nye begreber, som jeg har brugt her, bliver forklaret nedenfor.
Som sagt i Studiebrev 2 defineres en mængde ved sine elementer. F.eks. kan vi
have defineret en mængde, som vi kalder X, og som indeholder tre elementer,
som vi kalder a, b og c.
Vi kan derfor om f.eks. b sige, at b ″er element i” X. Skrives b ∈ X.
Jeg vil nu introducere en skrivemåde, man plejer at benytte, når man henviser til
endelige mængder ved simpelthen at opregne alle elementerne. For den ovennævnte
mængde X kan vi således skrive
X = {a,b,c}
Lad os nu se på en anden mængde Y, der kun indeholder ét element, nemlig b,
som jo også var med i X. Vi kan altså skrive
Y = {b}
(Som Jan foregreb i sit brev den 16. dec., er det vigtigt at skelne mellem selve
elementet b, som f.eks. kan være en person, der bor i København og er i live,
når nytårsklokkerne ringer mellem 1994 og 1995, og så mængden Y, der ikke
bor eller befinder sig nogen steder, og som eksisterer med samme status, hvad
enten b er i live eller ej. Elementet b kunne også have været Lille Rødhætte fra
Grimms eventyr eller have været tallet 7. Vi kan diskutere, hvilken eksistensform
b har. Men Y eksisterer som mængde med ét element i alle tilfælde. Jeg
vender i senere studiebreve tilbage til dette træk ved mængdebegrebet, i modsætning
til et begreb om "kategorier". [...]).
Som det ses, gælder det for alle elementer i Y, at de også er elementer i X. Vi
siger i ethvert sådant tilfælde, at Y "er en delmængde af" X. (Engelsk: "is a subset
of"). Skrives Y ⊆ X.
(Læg mærke til, at jeg ovenfor siger "alle", selv om der kun er ét element i Y. I
matematik og logik bruger man "alle" uafhængigt af, hvor mange størrelser man
henviser til, altså også om de tilfælde, hvor antallet af sådanne størrelser er nul
eller én).
Derimod gælder det ikke for alle elementer i X, at de også er elementer i Y. Derfor
er X ikke en delmængde af Y.
Da det for alle elementer i X gælder, at de er elementer i X, siger vi specielt, at X
er en delmængde af X. Enhver mængde er altså en delmængde af sig selv. Hvis
man vil fremhæve dette særlige tilfælde af delmængde, siger man, at X er en
25