PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 8. Jens Mammen, 09.05.95
38. En åben mængde indeholder ingen punkter fra sin rand.
En afsluttet mængde indeholder alle punkter fra sin rand.
Heraf følger, at hvis en mængde både er åben og afsluttet, så har den en tom
rand. Dens rand er altså den tomme mængde Ø.
Det følger også, at hvis en mængde er åben, men ikke afsluttet, eller afsluttet,
men ikke åben, så har den en ikke-tom rand.
I et sammenhængende topologisk rum på en underliggende mængde M vil alle
andre åbne mængder end Ø og M altså have en ikke-tom rand. Dette svarer til
vores intuitive begreb om, at der nødvendigvis må være en "streg" rundt om
mængdebollerne på et (sammenhængende) stykke papir, som blev omtalt første
gang i Studiebrev 3.
Hvis endelig en mængde hverken er åben eller afsluttet, indeholder både mængden
og dens komplement i M punkter fra deres fælles rand.
39. En rand til en åben eller afsluttet mængde har et tomt indre. Men en rand til
en mængde, som hverken er åben eller afsluttet, kan godt have et ikke-tomt indre.
I standardtopologien på R vil f.eks. mængden af rationelle tal mellem 0 og 1
hverken være åben eller afsluttet. Mængdens afslutning, nemlig det lukkede reelle
interval med endepunkterne 0 og 1, vil imidlertid også være dens rand, og
vil have et indre, som er det åbne reelle interval mellem 0 og 1.
[…] I DMS, s. 468, note 107, har jeg skrevet: "Endvidere ses det, at A's rand
ikke kan være en omegn". Dette er altså kun korrekt, for så vidt A er åben eller
afsluttet.
[Fejlen er rettet i 1996-udgaven]
40. Endelig vil jeg definere, hvad det vil sige, at en vilkårlig mængde X i et topologisk
rum er sammenhængende.
En mængde X i et topologisk rum er sammenhængende, hvis topologien induceret
på X er sammenhængende.
Eller med andre ord: En mængde X i et topologisk rum på mængden M er sammenhængende,
hvis der ikke findes to åbne mængder O1 og O2 i topologien på
M, for hvilke det gælder, at fællesmængderne X∩O1 og X∩O2 er ikke-tomme og
hinandens komplementer i X.
110