PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 5. Jens Mammen, 30.01.95
af de enkelte led i beviskæden. I princippet skulle en maskine, der blev fodret
med axiomerne plus reglerne for afledning (der som sagt selv kunne opfattes
som axiomer), kunne producere hele matematikken og for enhver velformet
matematisk sætning afgøre dens sandhed eller dens falskhed (uden selv at vide,
hvad sandhed og falskhed betyder).
Det der var tilbage for matematikerne, inden de kunne trække sig tilbage og
overlade matematikken til maskinerne, var at finde axiomerne og de tilstrækkelige
regler for velformede påstande. Der lå dog i denne forestilling om matematikkens
"mekanisering" den yderligere antagelse, ud over det axiomatiske systems
komplethed, at beviserne for theoremerne ikke bare fandtes, men at der
også var mekaniske metoder til at finde dem. Det axiomatiske system skulle
yderligere være "effektivt afgørbart", som det blev kaldt.
Det formalistiske program betød umiddelbart et enormt fremskridt for matematikken,
idet de strenge formkrav tvang til præcisering og til udryddelse af tvetydigheder
(og i visse tilfælde selvmodsigelser), som var forbundet med den tidligere
matematiks appel til forestillingen. F.eks. var den afklaring af uendelighedsbegrebet,
som blev diskuteret i Studiebrev 4 et produkt af det formalistiske
programs skærpede krav til begrebspræcision og forkastelse af appellen til forestillinger
om "uendelig fortsættelse" osv.
En tilsvarende udvikling skete inden for logikken i tæt forbindelse med udviklingen
inden for axiomatiseringen af mængdelæren. F.eks. udviklede vor gamle
ven fra de tidligere studiebreve Ernst Zermelo (ham med udvalgsaxiomet)
sammen med Abraham Fraenkel omkring 1920 et simpelt formelt sprog med
ganske få elementer, som kunne bruges til at formulere mængdelærens axiomer,
den såkaldte Zermelo-Fraenkel Set Theory.
Inden for logikken udvikledes, som en videreudvikling af den formalisering,
som var påbegyndt af G.F.L. Frege (1848-1925), en simpel formalisme, den såkaldte
prædikats-kalkule (engelsk: Predicate Calculus), som ligeledes byggede
på et lille sæt faste tegn og ganske få formregler og axiomer. Prædikats-kalkulen
er interessant ved faktisk at opfylde det formalistiske programs forudsætning
om fuldstændighed eller komplethed. Alle velformede sætninger i prædikats-kalkulen
er enten axiomer (dvs. et axiom fra det endelige axiomsæt), theoremer
eller negationer af axiomer eller af theoremer. Dette blev bevist af Kurt
Gödel i 1930. Bortset fra en særlig simpel del af prædikats-kalkulen, domslogikken,
er prædikats-kalkulen imidlertid ikke effektivt afgørbar. Dette blev påvist
i 1936 af Alonzo Church. Så ikke engang logikken kan overlades til maskinerne!
Men som vi siden skal se i Studiebrev 6, er heller ikke forudsætningen om
komplethed opfyldt i matematikkens axiomatiske systemer. Prædikats-kalkulen
62