PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Jens Mammen, 27.11.97
Appendix. Om Axiom 8
1. Som det fremgår af listen over de 11 axiomer sidst i SB22, er axiomsættet i
studiebrevene identisk med axiomsættet fra DMS. Det har været en pointe i sig
selv at fastholde det samme axiomsæt i de to fremstillinger. Det er det fortsat,
men jeg vil nok fremover benytte en anden og stærkere version af
Axiom 8: Enhver ikke-tom udvalgskategori indeholder en endelig ikke-tom
udvalgskategori. (DMS: Ax. U 13),
nemlig nedenstående
Axiom 8a: Enhver ikke-tom udvalgskategori indeholder en udvalgskategori
med netop én genstand.
2. Det nye axiomsæt, der fås ved i det gamle at erstatte Axiom 8 med Axiom 8a,
er helt ækvivalent med det gamle axiomsæt. Det er hverken stærkere eller svagere.
Det ses af, at Axiom 8 på den ene side umiddelbart følger af Axiom 8a,
hvorimod det omvendte ikke er tilfældet, eller med andre ord, at Axiom 8a taget
for sig er stærkere end Axiom 8. På den anden side følger Axiom 8a af Axiom
2, 4, 8 og 11 tilsammen (jfr. beviserne for Th. S 15 i DMS, s. 360-361 og for
Th. U 20 i DMS, s. 367-368). Endelig er det nye axiomsæt konsistent og logisk
uafhængigt, ligesom det gamle, idet beviset for det gamle axiomsæts vedkommende
i DMS (Appendix, s. iii-xii) lige så vel passer på det nye axiomsæt.
3. Når jeg oprindeligt valgte det svagere Axiom 8 frem for det stærkere Axiom
8a, var det ud fra princippet om overalt at vælge de svagest mulige axiomer,
givet de afgørende pointer, jfr. det "minimeringsprincip", som jeg har diskuteret
i SB13, a14 og i SB17, a25. Men da jeg skrev DMS, var jeg ikke tilstrækkeligt
opmærksom på at holde mig til et sprog, der i streng forstand var ækvivalent
med "first-order language", hvilket jeg faktisk har gjort i de 10 andre axiomer.
Jeg har tidligere nævnt dette problem i SB16, a3, hvor jeg gør opmærksom på,
at ordet "endelig" i Axiom 8 ikke er first-order language ækvivalent.
4. Axiom 8a er derimod holdt i det samme first-order language ækvivalente
sprog som de øvrige 10 axiomer. Dermed kan jeg nu uden forbehold bruge
Löwenheim-Skolem-Tarskis theorem på axiomsættet, jfr. f.eks. min brug af
theoremet i SB17, a37 og især i SB22, a20-23. Derudover opnår jeg også en
"æstetisk" gevinst ved, at Axiom 8a nu mere umiddelbart fremtræder som en
"makker" til Axiom 5. Endelig leder Axiom 8a også lettere tanken hen på udvalgsaxiomet
end Axiom 8, selv om hverken Axiom 8a taget for sig eller axiomsættet
som helhed er ækvivalent med udvalgsaxiomet. Det er det først sam-
260