PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 5. Jens Mammen, 30.01.95
som var afledt af axiomerne, måtte derfor være lige så indlysende sande som
axiomerne selv.
Et axiom måtte ikke kunne udledes af de andre axiomer, for i så fald ville det
blot være et theorem (og kunne altså undværes som axiom). Et axioms negation
måtte naturligvis heller ikke kunne afledes af de øvrige axiomer, da axiomsættet
i så fald var selvmodsigende eller kontradiktorisk. Axiomerne var altså "selvstændige"
eller med andre ord logisk uafhængige af hinanden. (Derimod kunne
det naturligvis ikke forhindres, at et axiom kunne afledes af et eller flere theoremer,
som var afledt af et sæt axiomer, hvori axiomet selv indgik).
Det imponerende var, at det faktisk lykkedes Euklid at opstille et sæt axiomer,
som var fuldstændigt i den forstand, at det muliggjorde afledning af alle andre
kendte matematiske påstande, som blev behandlet i hans skrifter, og som altså
fik status som theoremer. Faktisk var det så fuldstændigt, at det var grundlag for
geometrien frem til det 19. århundrede. (Om der var enkelte undtagelser, vil jeg
overlade til matematikhistorien).
Mest kendt er netop Euklids axiomatisering af geometrien. Han opstillede her et
sæt axiomer, hvoraf jeg vil citere nr. 1 og nr. 5:
1. Det er muligt at trække en ret linie fra et hvilket som helst punkt til et hvilket
som helst andet punkt.
5. Når en ret linie skærer to rette linier, og de indvendige vinkler på samme side
er mindre end to rette, så mødes de to linier, når de forlænges ubegrænset, på
den side, hvor de to vinkler ligger, der er mindre end to rette.
Axiom nr. 5 har dog siden fået nye ækvivalente, men simplere formuleringer,
f.eks.
5a. Gennem et givet punkt kan der kun trækkes én parallel til en given ret linie.
5b. To rette linier, der skærer hinanden, kan ikke begge være parallelle med én
og samme rette linie.
5c. Summen af vinklerne i en trekant er lig med to rette.
Formuleringerne i 5a og 5b førte til, at det 5. axiom siden er blevet kaldt for
"parallel-axiomet ".
Allerede på Euklids tid, og helt frem til det 19. århundrede, var parallel-axiomet
imidlertid genstand for intens diskussion.
En umiddelbar grund hertil var, at axiomet ikke i samme grad som de øvrige var
"selvindlysende", hvilket var et af Euklids krav til et axiom. En anden og mere
tungtvejende grund var, at axiomet ikke forekom at være selvstændigt, hvilket
jo var det andet krav til et axiom. Det opførte sig faktisk som et theorem. Det så
59