PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 2. Jens Mammen, 12.12.94
"mængden af alle mængder" eller det vildeste vilde: "mængden af alle mængder,
der ikke er element i sig selv", endte man i selvmodsigelser (paradokser) og
oplagt vrøvl.
Disse påvisninger har medført indførelse af visse begrænsninger på, hvad der
kan være element i en mængde. En af dem (Axiom of Foundation eller Axiom of
Regularity) siger f.eks., at man gerne må have en hel "kæde" af mængder, hvor
hver af mængderne som en kinesisk æske er element i den forrige. Men enhver
sådan kæde skal være endelig. Denne begrænsning udelukker f.eks., at en
mængde er element i sig selv, fordi "kæden" i det tilfælde ville være en cirkel
eller løkke, der "kørte rundt" i al uendelighed.
Der findes andre forsøg på at fastlægge fornuftige rammer for mængdebegrebet,
så at paradokserne undgås. Den grundlæggende logik i dem er, at elementerne i
en mængde skal være fastlagt, før mængden selv defineres. I denne definition
må mængden gerne defineres som indeholdende en bestemt del af de først definerede
elementer, en del, der kan være resultatet af anvendelsen af et kriterium,
en konstruktiv regelbaseret procedure eller et udvalg inden for de allerede givne
elementer. Denne måde at definere mængder på er det såkaldte Comprehension
Schema (som måske kan oversættes som noget med, at omfang går forud for
indhold). Med en metaforisk omskrivning er rationalet i disse forsøg, at man
først definerer kagen, derefter kniven, og til sidst kagestykkerne. Men da kagen
selv kan anskues som skåret ud af en større kage, ses det, at løsningen ikke er
helt tilfredsstillende, selv om paradokserne faktisk forhindres. Der er ikke i
matematikken en første substans, et stof, som man kan begynde at skære i. Kniven
kan ikke definere kagen. Den rene form kan ikke selv finde sit stof, så at
sige. Det må vi mennesker levere den. Vi skal siden se, at dette forhold faktisk
reflekteres i en ufuldstændighed i formelle matematiske systemer, som i 1931
blev påvist af den førnævnte Kurt Gödel. Men herom senere.
Det må understreges, at de ovennævnte moderne måder at definere mængder på,
faktisk får de forskellige traditionelle paradokser til at opløses. Det gælder f.eks.
Russell's paradokser med bogen, der skal opregne alle bøger, der ikke omtaler
sig selv (skal den så tage sig selv med?), med regimentsbarberen, der skal barbere
alle, der ikke barberer sig selv (skal han så barbere sig selv?), etc. etc. Prøv
selv! (Personligt deler jeg den moderne matematiks holdning, at der ikke findes
uløselige paradokser. Her er jeg i modsætning til f.eks. D.R. Hofstadter [1979],
T. Nørretranders [1985] m.fl., der for mig at se "ontologiserer" paradokserne i
stedet for at se dem som udtryk for manglende begrebspræcision).
Endnu et væsentligt træk ved det matematiske mængdebegreb må nævnes her,
nemlig det, som er formuleret i det såkaldte Axiom of Extensionality, som siger,
at en mængdes identitet alene er defineret ved dens elementer, eller dens omfang
(ekstension). Om mængden er defineret ved det ene eller andet kriterium
eller den ene eller anden regelbaserede procedure eller det ene eller andet ud-
9