PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Tia Hansen og Jens Mammen, 19.12.94
kræver nemlig, at man allerede har The Axiom of Choice og anvender det på
mængden af delmængderne.
Jeg kan godt se, at jeg efterhånden bliver afkrævet lidt mere præcision vedrørende
dette udvalgsaxiom, selv om jeg havde tænkt mig at vente. Jeg er nok
nødt til at eksplicitere, hvad der ovenfor menes med "plukke ud". Der er tydeligvis
tale om et begreb, der ikke blot henviser til den simple eksistens, for så
kunne vi nøjes med The Power Set Axiom. Der er heller ikke tale om udvælgelse
ud fra en eksplicit regel eller procedure, for så var det jo ikke i modsætning
til konstruktivismen. Der er snarere tale om en subtil mellemting, næsten
svarende til at tolke "eksistens" etymologisk som "stående ud fra", værende figur
på en grund, være "abstraheret" uden nærmere henvisning til hvordan eller i
kraft af hvad. Jeg vil ikke hævde, at jeg forstår det helt, selv om jeg selvfølgelig
har "mine egne" udvalgskategorier i tankerne. Men for nu ikke at fortabe mig
yderligere i filosofiske overvejelser over forholdet mellem ontologi og epistemologi
m.m. og dets genspejling i matematikken, må jeg hellere (omsider og
hårdt presset) anføre den almindeligste udgave af selve udvalgsaxiomet, men
dog med mine ord:
Lad der være givet en vilkårlig mængde af ikke-tomme mængder, som er indbyrdes
adskilte (disjunkte), dvs. at ingen elementer i nogen af mængderne også
er element i en af de andre mængder. Der eksisterer nu en ny mængde, som består
af netop ét element fra hver af de oprindelige mængder.
Det var det hele! Det lyder uskyldigt. Men det er det ikke, som det forhåbentlig
er fremgået. Måske skulle jeg have fremført denne eksplicitte udgave fra starten
af. Men så ville det have været meget sværere for mig at forklare, hvorfor den
ikke er uskyldig eller overhovedet er interessant. Og det havde også været forvirrende.
Og endelig var min plan jo bare at sige noget om mængder til at begynde
med. Jeg kunne heller ikke lide, at udvalgsaxiomets eksplicitte formulering
bruger begreber (bl.a. "mængde"), som ikke var forklaret endnu. Men tingene
bider sig selv i halen. Og hvor skal vi begynde?
I sig selv har denne dialog været lærerig ved at vise, hvordan der netop ikke er
nogen absolut begyndelse, når vi snakker matematik (eller hvad som helst andet?).
Men det følger også, at hvert svar afføder nye spørgsmål, og hvor skal vi
stoppe, hvis overblikket skal bevares? Ét spørgsmål er jeg dog nok nødt til at
trække frem, nu hvor der er åbnet for posen. Nemlig, hvorfor man egentlig har
brug for dette udvalgsaxiom. Indtil nu har det jo nærmest været til besvær, kan
det synes. Kan der ikke gives et eksempel, hvor udvalgsaxiomet viser sin nødvendighed?
Jeg vil prøve at give et par eksempler.
Det første henter jeg fra DMS, 2. udgave, Addendum. Her skal jeg bevise, at der
faktisk findes en delmængde i en større mængde (nemlig, hvad jeg kalder "uni-
20