PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 8. Jens Mammen, 09.05.95
For så vidt kunne jeg have sprunget mine eksempler med standardtopologierne
på R, Q og R 2 over og have fortsat rent "syntaktisk". Det ville have understreget
det helt generelle indhold i begreberne og ikke bundet dem til de på mange måder
alt for konkrete eksempler.
På den anden side er det ikke til at undvære en semantisk interpretation af begreberne,
dels af pædagogiske grunde, dels til brug for konsistens- og uafhængighedsbeviser,
som vi har diskuteret det i Studiebrev 5 og 6.
Faktisk er det netop de begreber, som vi har diskuteret mere anskueligt og intuitivt
ovenfor som det "indre" af "klatter", deres "grænser" eller rande m.m., som
nu bliver sat på præcist syntaktisk begreb, og som samtidig bliver generaliseret
til at kunne anvendes på andre mængder i topologiske rum end intervaller, arealer,
"klatter" og "klumper".
24. Det første begreb, jeg vil definere, er begrebet omegn (amer. eng. neighborhood).
I et topologisk rum er en mængde X en omegn til et punkt x, hvis der eksisterer
en åben mængde, som indeholder x, og som er en (ægte eller uægte)
delmængde af X.
En åben mængde, som indeholder x, er altså selv en omegn til x.
Det ses, at en åben mængde er omegn til ethvert af sine punkter.
I standardtopologien på R vil en omegn til et punkt x være enhver mængde, som
indeholder et åbent interval omkring x.
25. Jeg vil nu definere en række begreber, der knytter sig til en vilkårlig delmængde
X i et topologisk rum, uanset om mængden er åben eller afsluttet, eller
begge dele eller ingen af delene.
26. Det første begreb er mængden X's indre (interior), også skrevet Int(X). X's
indre er en åben mængde, der er defineret som foreningsmængden af alle åbne
mængder, som er indeholdt i X.
En åben mængde er altså sit eget indre.
I standardtopologien på R vil det indre af et lukket interval være det tilsvarende
åbne interval. Det indre til et punkt vil være den tomme mængde Ø. Det indre til
en mængde udelukkende bestående af rationelle tal vil også være Ø.
27. Det næste begreb er mængden X's ydre (exterior), skrevet Ext(X), der er defineret
som det indre af X's komplement i M. Vi har altså, at Ext(X)=Int(M\X).
107