PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 15. Jens Mammen, 21.09.96
Når det må betragtes som en udgave af udvalgsaxiomet, er det fordi det, ligesom
f.eks. Hausdorff's princip om mængders velordnethed (jfr. min diskussion
med Tia 19.12.94), siger, at et matematisk objekt eksisterer, selv om det ikke
kan konstrueres eksplicit, blot visse andre svagere krav er opfyldt. Det er i formuleringen
af disse svagere krav, at de forskellige udgaver af udvalgsaksiomet
afviger (ofte meget lidt) fra hinanden. (En fremragende oversigt over disse forskellige
udgaver og deres historie gives som tidligere sagt i G.H. Moore, 1982).
[For en opdateret oversigt med flere spændende diskussioner, se Schechter
(2000)].
Hermed har jeg forhåbentlig fået belyst den ene af de egenskaber ved de maksimale
perfekte topologier, som jeg omtalte i afsnit 1 ovenfor, nemlig at deres
eksistens forudsatte Zorn's Lemma. Og jeg har forhåbentlig også fået antydet, at
de er "uhyre uendelige og komplicerede", faktisk i en grad, så Mandelbrotmængden,
som en af de mest komplicerede konstruktive mangfoldigheder, der
kendes, er det rene vand.
5. Lad mig nu se på andre af egenskaberne ved de maksimale perfekte topologier.
I afsnit 3 ovenfor omtalte jeg en delmængde af R, som var "tæt" i R, nemlig
z
alle brøker af typen , hvor z var hel, og hvor n var et naturligt tal. En
n
2
mængde A er tæt (eng. dense) i et topologisk rum med den underliggende
mængde T, hvis A's afslutning er T, hvilket er det samme som, at A's ydre er den
tomme mængde Ø, eller igen at enhver ikke-tom åben mængde i T indeholder
mindst ét punkt fra A (jfr. Studiebrev 8, afsnit 23-39). Mængden W af alle brø-
z
ker af typen er altså tæt i standardtopologien på R, fordi ethvert åbent inter-
n
2
val på R indeholder mindst ét punkt af denne type (og i øvrigt uendeligt
mange).
Komplementet til en tæt delmængde i T kaldes co-tæt (en lidt uelegant oversættelse
af engelsk co-dense). For en co-tæt mængde gælder det altså, at dens
indre er den tomme mængde Ø, eller med andre ord, at den ikke indeholder nogen
ikke-tomme åbne mængder. En mere sigende oversættelse af co-dense, ville
måske derfor være tynd, og jeg vil for anskuelighedens skyld fremover bruge
denne uautoriserede og hjemmestrikkede betegnelse for en co-tæt mængde.
(Desværre findes der allerede et begreb "meager" i topologien, som betegner en
anden egenskab ved en mængde. Men det må vi leve med). En delmængde i T
kan godt på samme tid være tæt og tynd. Det gælder f.eks. mængden W ovenfor.
Enhver åben mængde i standardtopologien på R indeholder nemlig både elementer
fra W og fra R\W. Vi skal dog om lidt se, at noget tilsvarende lige netop
ikke kan lade sig gøre i en maksimal perfekt topologi.
174