PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 5. Jens Mammen, 30.01.95
kunne bevises ved deduktion af en kontradiktion. I dette tilfælde siges, at sættet
af axiomer og negationen af det givne theorem er "syntaktisk inkonsistente".
I et axiomatisk system er der sammenfald mellem semantisk og syntaktisk inkonsistens
(og dermed også sammenfald mellem de modsatte tilfælde, semantisk
og syntaktisk konsistens, som jeg kommer ind på om lidt). Det er så at sige
hele fidusen med et axiomatisk system. En (semantisk eller syntaktisk) inkonsistens
kan i princippet afgøres med syntaktiske midler (men ikke nødvendigvis
mekanisk). Men en inkonsistens kan som sagt ikke i almindelighed afgøres med
semantiske midler, dvs. ved at gennemføre en fuldstændig afprøvning over for
alle interpretationer. Men det var jo også netop det, man ville slippe for ved at
lave et axiomatisk system. Så det er ganske uproblematisk.
Lidt anderledes forholder det sig, når vi skal se på et andet nødvendigt træk ved
et axiomatisk system, nemlig, at axiomerne skal være uafhængige af hinanden.
Dette indebærer, at det for ethvert axiom må gælde, at hverken det selv eller
dets negation er et theorem, altså at hverken det selv eller dets negation sammen
med de øvrige axiomer ved deduktion fører til en kontradiktion. Ethvert axiom
skal, ligesom axiomets negation, være "syntaktisk konsistent" med de øvrige
axiomer.
Den deduktive metode kan aflede et theorem fra et sæt axiomer, eller med andre
ord aflede en kontradiktion af axiomerne og et theorems negation. Den deduktive
metode kan altså bevise syntaktisk inkonsistens. Men påvisningen af syntaktisk
konsistens falder uden for denne metodes muligheder. Men kan ikke
med syntaktiske midler bevise syntaktisk konsistens. Her rækker rent "formalistiske"
metoder ikke.
Men vi kan også give en "semantisk" udlægning af konsistens. Hvis et sæt påstande
(axiomer eller theoremer) er semantisk konsistente, vil det sige, at der
findes en interpretation af påstandene, som alle påstandene er gyldige for. Hvis
ikke det var tilfældet, ville sættet af påstande nemlig ifølge vores definition tidligere
være semantisk inkonsistent. Hvis vi altså kan finde bare én sådan interpretation,
er det dermed bevist, at sættet af påstande er konsistent. Syntaktisk og
semantisk konsistens er sammenfaldende i et axiomatisk system, fordi syntaktisk
og semantisk inkonsistens var sammenfaldende. Men beviset for konsistens
kan altså kun gennemføres med semantiske midler, dvs. ved at finde en gyldig
interpretation eller "model".
Så længe et axiomatisk system, altså selve axiomerne, er under opbygning, kan
man derfor ikke slippe for at måtte finde eksempler på objekter, altså interpretationer,
som axiomsystemet beskriver gyldigt. Det er det eneste middel, man
har til at bevise axiomsystemets konsistens. For at bevise axiomsystemets uafhængighed
er man endda også nødt til for hvert eneste axiom at finde en interpretation,
som beskrives gyldigt af alle de andre axiomer og af det pågældende
64