PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 5. Jens Mammen, 30.01.95
axioms negation. (I DMS "Appendix" har jeg, som nævnt i mit svar til Niels 16.
dec., benyttet denne metode til at bevise mine axiomers uafhængighed). For ingen
af de axiomatiske systemer, som vi vil interessere os for her, findes der mekaniske
metoder til at finde sådanne interpretationer.
Formalisterne var godt klar over denne begrænsning i den formalistiske metode.
Men når først axiomerne var i hus, kunne resten, nemlig udledningen af theoremerne
og afprøvning af, om en given velformet sætning (eller dens negation)
var et theorem, foregå alene med syntaktiske midler, dvs. ved deduktive beviser,
håbede eller troede man.
Spørgsmålet var selvfølgelig, om forudsætningerne for programmet var opfyldt,
nemlig at der fandtes et endeligt sæt axiomer, som muliggjorde, at der for enhver
velformet sætning fandtes et bevis for, om den var sand eller falsk, altså
kravet om komplethed. Desuden var der kravet om, at denne afgørelse (dvs. at
finde beviset) kunne træffes med mekaniske (algoritmiske) midler, dvs. effektivt
afgørbart, altså et lidt stærkere krav end kravet om komplethed. Ingen af delene
var bevist før 1930, og Hilbert kaldte spørgsmålet om, hvorvidt kravet i den sidste,
stærke udgave var opfyldt, for "das Entscheidungsproblem", altså "afgørbarhedsproblemet".
Desværre for det formalistiske program, men heldigvis for matematikken, blev
spørgsmålet om komplethed for mængdelæren, og for matematikken, imidlertid
i 1931 besvaret benægtende, nemlig af Kurt Gödel. Studiebrev 6 handler bl.a.
om konsekvenserne af denne opdagelse.
65