PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Jens Mammen, 16.12.94
Den eneste bevismåde er et "kreativt" bevis, som konstruerer eksempler, såkaldte
modeller. (Der skal både være et eksempel, hvorpå alle axiomerne og
påstanden "passer", og et eksempel, hvorpå alle axiomerne og påstandens
negation "passer". Jeg har brugt metoden i DMS Appendix, hvor man altså
vil kunne se den gennemført i praksis. Jeg vender tilbage til denne bevismetode
i forbindelse med, hvad der i dag kaldes modelteori). En sådan påstand
er, ligesom dens negation, et potentielt nyt axiom, som kan føjes til de hidtidige,
hvis man ellers kan bestemme sig for en af mulighederne, hvilket der
ikke findes faste metoder til. (En af Kurt Gödels berømte opdagelser fra
1930-31 var, at der for ethvert axiomsystem af en vis kompleksitet altid findes
sådanne påstande. Et axiomsystem er altså aldrig "færdigt", eller med
Gödels ord aldrig komplet. Det vender jeg også tilbage til).
Da Zermelo fremsatte sin påstand, kaldte han det udvalgsaxiomet, fordi han
mente, at det var et potentielt axiom, altså havde en status, som beskrevet i
punkt 3. Derudover syntes han, at man skulle bestemme sig for det som axiom
(frem for dets negation), fordi det var fornuftigt ved at have nogle konsekvenser,
som han og andre matematikere nødigt ville undvære. Men Zermelo kunne
ikke bevise, at påstanden hørte hjemme under punkt 3. Det kræver nemlig, at
man faktisk gennemfører det modelbevis, som er krævet i punkt 3, og det kunne
Zermelo ikke. Han kunne heller ikke gennemføre beviserne krævet for at placere
påstanden under punkt 1 eller 2.
Så en tid lang diskuterede man "axiomet" (som man altså endnu ikke viste, var
et axiom) ud fra, hvad man mente om dets konsekvenser for matematikken. Var
det nyttigt eller skadeligt, eller hvad? Som sagt mente et stigende antal førende
matematikere, at det var nyttigt eller ligefrem uundværligt.
Parallelt hermed prøvede man at finde ud af påstandens status. Nu hvor man
havde forelsket sig i den, eller ligefrem indgået ægteskab, ville det jo være ret
katastrofalt, hvis den viste sig at falde under punkt 1, altså var inkonsistent med
de hidtidige axiomer. I 1938 lykkedes det så Kurt Gödel med et halvt modelbevis
at vise, at axiomet var konsistent med de hidtidige axiomer, dvs. at det ikke
faldt under punkt 1, men enten var et theorem (punkt 2) eller et potentielt axiom
(punkt 3).
I 1963 lykkedes det så Paul Cohen at gennemføre modelbevisets anden halvdel,
der beviste, at udvalgsaxiomets negation også var konsistent med de hidtidige
axiomer, og at det derfor virkelig var et potentielt axiom (punkt 3).
Nu (10 år efter sin død) fik Zermelo altså ikke bare medhold i, at hans påstand
var fornuftig, men i, at den faktisk var et nyt axiom, altså en ny grundpåstand i
matematikken.
Kære Niels: Jeg håber, at dette besvarer dine spørgsmål. Men du glemte at ønske
en plade.
14