PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 14. Jens Mammen, 02.04.96
tervaller og mængder af rationelle tal. Men en delmængde af R bestående udelukkende
af irrationelle tal er ikke en sådan afgørbar kategori, og dermed er Påstand
1 ikke opfyldt i denne interpretation. Altså kan Påstand 1 ikke være et
theorem.
Spørgsmålet er altså, hvorvidt Påstand 1 er et potentielt axiom. Hvis der findes
en interpretation af de 11 axiomer, hvor Påstand 1 er opfyldt, så er det dermed
bevist, at Påstand 1 virkelig er et potentielt axiom. Men det har ikke været muligt
for mig at finde et sådant eksempel.
Hvis Påstand 1 er et potentielt axiom, så er dets negation pr. definition (jfr. Studiebrev
5) også et potentielt axiom, nemlig
Påstand 2: Der findes en delmængde af U, som ikke er en afgørbar kategori.
4. Alternativet til den mulighed, som er beskrevet ovenfor, hvor både Påstand 1
og Påstand 2 er potentielle axiomer, hvor altså begge er forenelige med de 11
axiomer, er, at Påstand 1 er uforenelig med de 11 axiomer, og at Påstand 2 dermed
er et theorem. Andre muligheder gives ikke (jfr. Studiebrev 5), fordi Påstand
1 som sagt ikke er et theorem, da Påstand 2 (som vist med ovennævnte
model-eksempel fra Studiebrev 13, afsnit 14) er forenelig med de 11 axiomer. I
DMS har diskussionen derfor drejet sig om, hvorvidt Påstand 2 er et theorem
eller ej.
5. I Addendum i DMS, 2. udgave, er det bevist, at hvis vi til de 11 axiomer føjer
et
Axiom 12: Rummet af sansekategorier i U har en numerabel basis,
så bliver Påstand 2 et theorem (som i Addendum er betegnet som Th. A 10’’).
Men det var ikke muligt for mig at besvare spørgsmålet, altså gennemføre beviset,
alene ud fra de oprindelige 11 axiomer, uden Axiom 12.
6. Begrebet numerabel basis har tidligere været diskuteret generelt i Studiebrev
8, afsnit 1-4 og 21-22, i relation til afgørbarhed i Studiebrev 10, afsnit 24, samt i
relation til sansekategorier i Studiebrev 12, afsnit 15-16 og 23. I rummet af sansekategorier
sikrede en numerabel basis (Axiom 12) således en vis systematisk
"velordnethed" (som i Studiebrev 12 blev interpreteret som en principiel mulighed
for algoritmisk eller computabel mønstergenkendelse). Under denne forudsætning
er der altså nødvendigvis delmængder i U, som ikke er afgørbare kategorier.
Men stadig vidste jeg altså ikke, da jeg skrev Addendum [i 1989], om det
samme gælder uden den specielle forudsætning, som er givet med Axiom 12.
166