PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 9. Jens Mammen, 15.05.95
En lidt mere eksakt måde at definere en kontinuert funktion på gik ud fra, hvad
det ville sige, at en funktion var kontinuert i et bestemt punkt på X-aksen. En
funktion var derefter kontinuert i et interval, eller eventuelt på hele R, hvis den
var kontinuert i alle punkter i intervallet.
En funktion var kontinuert i et givet punkt x0 på X-aksen, med et billedpunkt y0
på Y-aksen, hvis alle punkter tæt på x0 blev afbildet tæt på y0. En måde at udtrykke
dette mere eksakt på var at sige, at for et vilkårligt lille positivt reelt tal δ
(delta) gjaldt det, at der fandtes et positivt reelt tal ε (epsilon) således, at det for
alle x i det åbne interval x0-ε < x < x0+ε gjaldt, at det tilsvarende y lå i det åbne
interval y-δ < y < y+δ.
Den sidste formulering er i virkeligheden det samme som at kræve af en funktion,
der er kontinuert i et punkt x0 med billedpunktet y0, at der for et vilkårligt
åbent interval omkring y0 findes et åbent interval omkring x0, for hvilket det
gælder, at alle dets billedpunkter ligger i det åbne interval omkring y0.
13. Lad os nu gå ud fra, at en funktion er kontinuert på hele X-aksen, altså kontinuert
i alle punkter på X-aksen som defineret ovenfor, og lad os se på et åbent
interval på Y-aksen, som vi kan kalde OY. Lad endvidere originalmængden til
OY være OX. Der er nu to muligheder: Hvis der slet ikke er billedpunkter i OY, er
OX tom, altså den tomme mængde Ø, og dermed åben. Hvis der er billedpunkter
i OY, er OX ikke-tom.
Lad os nu se på det sidstnævnte tilfælde, og lad x0 være et vilkårligt punkt i OX
med billedpunktet y0 i OY. Da funktionen er kontinuert i punktet x0, findes der nu
et åbent interval omkring x0, som afbildes i en delmængde af OY, og som selv er
en delmængde af OX.
Da dette gælder for ethvert x0 i OX, er OX altså en foreningsmængde af åbne intervaller
og dermed en åben mængde i standardtopologien på X-aksen.
Originalmængden til en foreningsmængde af åbne intervaller på Y-aksen må
således være en foreningsmængde af åbne mængder på X-aksen og dermed selv
en åben mængde.
Jeg har nu bevist, at hvis en funktion fra X-aksen til Y-aksen er kontinuert, er
originalmængden til en åben mængde en åben mængde, i standardtopologien.
14. Efter helt samme melodi går det modsatte bevis, at hvis det for en funktion
fra X-aksen til Y-aksen gælder, at originalmængden til enhver åben mængde er
en åben mængde, så er funktionen kontinuert. Men det vil jeg overlade til læseren.
116