PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 4. Jens Mammen, 16.01. 95
tal, som jeg havde opstillet. For ethvert af tallene i rækkefølgen er det nemlig
forskelligt fra det på mindst én cifferplads.
Altså er der et reelt tal, der ikke er med i rækkefølgen, og altså kunne det ikke
lade sig gøre, som jeg modsætningsvis antog, at parre de reelle tal mellem 0 og
1 med de naturlige tal. Der vil altid være uparrede reelle tal tilbage, som f.eks.
x. Altså har de reelle tal en højere kardinalitet end de naturlige tals kardinalitet,
der som sagt var ℵ0.
Beviset og sætningen stammer, lige som de tilsvarende for de rationelle tal, fra
Georg Cantor. (Grunden til, at det samme trick ikke kan bruges på mængden af
alle periodiske decimalbrøker er, at et tilsvarende konstrueret tal x ikke selv
ville være periodisk).
Spørgsmålet er nu, om de reelle tal netop har kardinaliteten ℵ1, altså om der
ikke findes mængder, hvis kardinalitet ligger mellem de naturlige tals og de reelle
tals. Det er meget svært at forestille sig sådanne mængder, og det har da
også været antaget, at de reelle tal har kardinaliteten ℵ1, den såkaldte kontinuumshypotese.
Navnet skyldes, at mængden af reelle tal også har været kaldt for
"kontinuet" af grunde, som jeg kommer ind på i et senere studiebrev om de reelle
tals topologi.
Der har været gjort mange forgæves forsøg på at bevise kontinuumshypotesen.
Først i 1938 lykkedes det for Kurt Gödel at vise, at den var konsistent med
mængdelærens hidtidige axiomatiske grundlag [Gödel, 1940]. Han gjorde det
faktisk samtidig med, at han også beviste, at udvalgsaxiomet var konsistent med
dette grundlag, samt at kontinuumshypotesen og udvalgsaxiomet var indbyrdes
konsistente. Men helt ligesom for udvalgsaxiomets vedkommende kunne Gödel
ikke afgøre, om kontinuumshypotesens negation også var konsistent med
grundlaget eller ej. Man vidste altså i 1938 stadig ikke, om kontinuumshypotesen
kunne bevises ud fra de hidtidige axiomer, eller om den var et nyt uafhængigt
potentielt axiom.
Først i 1963 viste Paul Cohen, helt som for udvalgsaxiomets vedkommende, at
kontinuumshypotesen faktisk var uafhængig af de hidtidige axiomer, og af udvalgsaxiomet.
Paul Cohen viste endda, at det ville være konsistent med de hidtidige
axiomer at tilskrive "kontinuet", altså mængden af reelle tal, en vilkårlig
kardinalitet større end ℵ0. Hvordan denne axiomatiske "frihed" skal tolkes,
vender jeg tilbage til i Studiebrev 5 om axiomatiske systemer.
Lad os nu igen se på mængden af de naturlige tal {0, 1, 2, 3, ...} (idet jeg her
bruger de krøllede parenteser ligesom for de endelige mængder i Studiebrev 3).
Og lad os se på delmængder i denne mængde. En måde at repræsentere en delmængde
på vil være at benytte en karakteristisk funktion, som vi ovenfor definerede
den for endelige mængders vedkommende. Vi kan altså repræsentere en
delmængde af de naturlige tals mængde som en rækkefølge af 0'er og 1'er, sva-
55