maquinas de corriente alterna.pdf - Universidad Tecnológica de ...

1.4. Máquina bifásica de corriente alterna 21
Se obtiene la siguiente serie de potencias (serie geométrica convergente):
[
1
g(θ) = 1 ( ) ( ) ] 2 g1 g1
1 + cos 2θ + cos 2θ + · · ·
g 0 g 0 g 0
Considerando solo los dos primeros términos:
1
g(θ) = 1 (
1 + g )
1
cos 2θ
g 0 g 0
(1.41)
Con esto la energía magnética total almacenada en los campos es:
ω m = µ 0aL
2g 0
∫ 2π
0
ω m = µ 0aL
2g 0
∫ 2π
0
(
1 + g )
1
cos 2θ 〈κ 1 i 1 cos θ + κ 2 i 2 sen θ + κ x i x cos (θ − θ 0 )
g 0
+ κ y i y sen (θ − θ 0 )〉 2 dθ.
(
1 + g )
1
cos 2θ 〈κ 2
g
1i 2 1cos 2 θ + 2κ 1 κ 2 i 1 i 2 sen θcos θ + κ 2 1i 2 1sen 2 θ
0
+ 2κ 1 κ x i 1 i x cos θcos (θ − θ 0 ) + 2κ 1 κ y cos θsen (θ − θ 0 )
+ 2κ 2 κ x i 2 i x cos (θ − θ 0 )sen θ + 2κ 2 κ y i 2 i y sen θsen (θ − θ 0 )
+ 2κ x κ y i x i y cos (θ − θ 0 )sen (θ − θ 0 ) + κ 2 x i2 x cos2 (θ − θ 0 )
+ κ 2 yi 2 ysen 2 (θ − θ 0 )〉dθ.
Evaluando las distintas integrales, se obtiene:
ω m = µ 〈 (
0aL
κ 2 1
2g i2 1 π 1 + g )
1
0 2g 0
(
+ 2κ 2 κ x i 2 i x π
− 2κ 1 κ y i 1 i y π
+ κ 2 2 i2 2 π (
1 − g 1
2g 0
)
1 − g 1
2g 0
)
sen θ 0 + 2κ 2 κ y i 2 i y π
(
+ 2κ 1 κ x π
(
1 − g 1
2g 0
)
cos θ 0
(
1 + g 1
2g 0
)
sen θ 0 − 2κ x κ y i x i y π g 1
2g 0
sen 2θ 0
+ κ 2 x i2 x π (
1 + g 1
2g 0
cos 2θ 0
)
+ κ 2 y i2 y π (
1 − g 1
2g 0
cos 2θ 0
)〉
.
1 + g 1
2g 0
)
i 1 i x cos θ 0
Expresión que da la energía magnética total almacenada en los campos magnéticos.
(1.42)
Comparación de energías Si se compara la función de coenergía obtenida con base en la función de
estado con la última función obtenida a partir de la densidad volumétrica de campo sobre todo
el volumen se pueden identificar los valores de las respectivas inductancias de la máquina.
Recordar que la función de estado coenergía es igual a la función de estado energía.
ω m = ω ′ m.