maquinas de corriente alterna.pdf - Universidad Tecnológica de ...

1.10. Componentes simétricas en la máquina de corriente alterna 47
donde
⎡
⎤
1 1 1 · · · 1 1
[CS] = √ 1
1 α α 2 · · · α n−2 α n−1
1 α 2 α 4 · · · α 2(n−2) α 2(n−1)
n ⎢
⎣
.
. . . ..
⎥
.
. ⎦
1 α n−1 α 2(n−1) · · · α (n−1)(n−2) α (n−1)(n−1)
La matriz es cuadrada de dimensión n × n y un elemento típico de la fila i y la columna k queda
definido por
α (i−1)(k−1) . (1.105)
Además
α = e j 2π n . (1.106)
Para la inversa de la transformación se tiene:
⎡
⎤
1 1 1 · · · 1 1
[CS] −1 = √ 1
1 α −1 α −2 · · · α −(n−2) α −(n−1)
1 α −2 α −4 · · · α −2(n−2) α −2(n−1)
n ⎢
⎣
. ⎥
. . . .. .
. ⎦
1 α −(n−1) α −2(n−1) · · · α −(n−1)(n−2) α −(n−1)(n−1)
Un elemento típico de la fila i y la columna k queda definido por
α −(i−1)(k−1) . (1.107)
La transformación de componentes simétricas cumple la siguiente condición:
[CS] −1 = [CS] ∗t , (1.108)
que muestra que la matriz inversa es la conjugada-transpuesta de la matriz de transformación.
Esta transformación cumple la condición de invariancia de potencia.
P 0,1,2 = Re { [V 0,1,2 ] t∗ [I 0,1,2 ] } .
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
V 0
⎣V 1
⎦ = √ 1 1 1 1 V α V α
⎣1 α α 2 ⎦ ⎣V β
⎦ = [CS] ⎣V β
⎦.
V 3
2 1 α 2 α V γ V γ
P 0,1,2 = Re { [[CS][V α,β,γ ]] t∗ [[CS][I α,β,γ ]] } ,
= Re {[ [V α,β,γ ] t [CS] t] ∗ [[CS][Iα,β,γ ]] } ,
= Re { [V α,β,γ ] t∗ [CS] t∗ [CS][I α,β,γ ] } .
El sistema es invariante en potencia con la transformación, si:
[CS] t∗ [CS] = [I].