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46 Capítulo 1. Ecuaciones L 1xmax = L 2xmax = 3 2 L α s α r max , L x0 = 3 2 L α r 0, L xymax = 3 2 L α r θ = 3 2 L α r β r max . 1.10. Componentes simétricas en la máquina de corriente alterna 1.10.1. Introducción Como se ha introducido previamente la mayoría de las aplicaciones de las máquinas de corriente alterna operan, valga la redundancia, con ondas alternas senoidales; de ahí que la restricción impuesta en la transformación trifásica a bifásica no sea tan severa. Se trata del sumatorio de voltajes y corrientes en la máquina trifásica iguales a cero. No es tan severa por cuanto cualquier conjunto de voltajes sinusoidales descompuesto en las componentes simétricas se cumplirá con la condición al remover la componente de secuencia cero. 1.10.2. Componentes simétricas Fortescue definió la transformación lineal compleja para un conjunto de voltajes alternos sinusoidales, de la siguiente forma: Sea: ⎡ ⎤ χ α χ β [χ] = χ γ , ⎢ ⎥ ⎣ . ⎦ χ κ un conjunto de voltajes o corrientes sinusoidales en forma fasorial. Es el vector de cantidades a transformar ⎡ ⎤ χ 0 χ 1 [χ S ] = χ 2 , ⎢ ⎥ ⎣ . ⎦ χ n es un conjunto de fasores de las variables transformadas. La transformada se define como [χ S ] = [CS][χ], (1.104)
1.10. Componentes simétricas en la máquina de corriente alterna 47 donde ⎡ ⎤ 1 1 1 · · · 1 1 [CS] = √ 1 1 α α 2 · · · α n−2 α n−1 1 α 2 α 4 · · · α 2(n−2) α 2(n−1) n ⎢ ⎣ . . . . .. ⎥ . . ⎦ 1 α n−1 α 2(n−1) · · · α (n−1)(n−2) α (n−1)(n−1) La matriz es cuadrada de dimensión n × n y un elemento típico de la fila i y la columna k queda definido por α (i−1)(k−1) . (1.105) Además α = e j 2π n . (1.106) Para la inversa de la transformación se tiene: ⎡ ⎤ 1 1 1 · · · 1 1 [CS] −1 = √ 1 1 α −1 α −2 · · · α −(n−2) α −(n−1) 1 α −2 α −4 · · · α −2(n−2) α −2(n−1) n ⎢ ⎣ . ⎥ . . . .. . . ⎦ 1 α −(n−1) α −2(n−1) · · · α −(n−1)(n−2) α −(n−1)(n−1) Un elemento típico de la fila i y la columna k queda definido por α −(i−1)(k−1) . (1.107) La transformación de componentes simétricas cumple la siguiente condición: [CS] −1 = [CS] ∗t , (1.108) que muestra que la matriz inversa es la conjugada-transpuesta de la matriz de transformación. Esta transformación cumple la condición de invariancia de potencia. P 0,1,2 = Re { [V 0,1,2 ] t∗ [I 0,1,2 ] } . ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ V 0 ⎣V 1 ⎦ = √ 1 1 1 1 V α V α ⎣1 α α 2 ⎦ ⎣V β ⎦ = [CS] ⎣V β ⎦. V 3 2 1 α 2 α V γ V γ P 0,1,2 = Re { [[CS][V α,β,γ ]] t∗ [[CS][I α,β,γ ]] } , = Re {[ [V α,β,γ ] t [CS] t] ∗ [[CS][Iα,β,γ ]] } , = Re { [V α,β,γ ] t∗ [CS] t∗ [CS][I α,β,γ ] } . El sistema es invariante en potencia con la transformación, si: [CS] t∗ [CS] = [I].
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Bibliografía Adkins, Bernand. The
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