Serway-septima-edicion-castellano

Sección 4.2 Movimiento en dos dimensiones con aceleración constante 75
Puesto que la aceleración a S de la partícula se supone constante en esta discusión, sus
componentes a x y a y también son constantes. Por lo tanto, se le puede representar como
una partícula bajo aceleración constante independiente en cada una de las dos direcciones
y aplicar las ecuaciones de cinemática por separado a las componentes x y y del vector
velocidad. Al sustituir, de la ecuación 2.13, v xf v xi a x t y v yf v yi a y t en la ecuación 4.7
para determinar la velocidad final en cualquier tiempo t, se obtiene
S
vf 1v xi a x t2 î 1v yi a y t2 ĵ 1v xi î v yi ĵ 2 1a x î a y ĵ 2t
S
v
S f v S i at
(4.8)
Este resultado establece que la velocidad de una partícula en algún tiempo t es igual a
la suma vectorial de su velocidad inicial v S i en el tiempo t 0 y la velocidad adicional a S t
adquirida en el tiempo t como resultado de aceleración constante. La ecuación 4.8 es la
versión vectorial de la ecuación 2.13.
De igual modo, de la ecuación 2.16 se sabe que las coordenadas x y y de una partícula
que se mueve con aceleración constante son
x f x i v xi t
1
2a x t 2 y f y i v yi t
1
2a y t 2
Al sustituir estas expresiones en la ecuación 4.6 (y etiquetar el vector de posición final
S
rf ) se obtiene
S
rf 1x i v xi t
1x i î y i ĵ 2 1v xi î v yi ĵ 2t
S
r
S f r S i vit
1
2a x t 2 1
2 î 1y i v yi t 2a y t 2 2 ĵ
1
2 1a x î a y ĵ 2t 2
1
2 a S t 2
(4.9)
que es la versión vectorial de la ecuación 2.16. La ecuación 4.9 dice que el vector de posición
S rf de una partícula es la suma vectorial de la posición original S ri , un desplazamiento
S
vi t que surge de la velocidad inicial de la partícula y un desplazamiento 1 S 2 at 2 que resulta
de la aceleración constante de la partícula.
En la figura 4.5 se muestran representaciones gráficas de las ecuaciones 4.8 y 4.9. Las
componentes de los vectores de posición y velocidad también se ilustran en la figura. Note
en la figura 4.5a que S vf por lo general no está a lo largo de la dirección de S vi o de S a porque
la correspondencia entre dichas cantidades es una expresión vectorial. Por la misma justificación,
de la figura 4.5b, se ve que S rf por lo general no está a lo largo de la dirección de
S
vi o de S a. Por último, observe que S vf y S rf por lo común no están en la misma dirección.
Vector velocidad como
función del tiempo
Vector de posición como
función del tiempo
y
y
a y t
v yf
v yi
v f
v xi
v i
a x t
at
x
1 a y t 2
2
y r 1 f f at 2
2
v yi t
v i t
y i r i
x i
v xi t
x
1 a x t 2
2
a)
v xf
Figura 4.5 Representaciones y componentes vectoriales de a) la velocidad y b) la posición de una
partícula que se mueve con una aceleración constante S a.
x f
b)