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392 Capítulo 14 Mecánica de fluidos
d h
Mg ĵ
P 0 Aj ˆ
PAˆj
Figura 14.3 Una parte de
fluido (región más oscura) aislada
en un volumen de fluido más
grande. La fuerza neta que se
ejerce sobre la parte de fluido
debe ser cero porque está en
equilibrio.
d
Ahora se demostrará cómo la presión en un líquido aumenta con la profundidad. Como
describe la ecuación 1.1, la densidad de una sustancia se define como su masa por unidad
de volumen; la tabla 14.1 menciona las densidades de diferentes sustancias. Estos valores
varían ligeramente con la temperatura porque el volumen de una sustancia depende de
la temperatura (como se muestra en el capítulo 19). Bajo condiciones estándar (a 0°C y
1
presión atmosférica), las densidades de los gases son aproximadamente
1 000
las densidades
de sólidos y líquidos. Esta diferencia en densidades implica que el espaciamiento molecular
promedio en un gas bajo estas condiciones es aproximadamente diez veces mayor que
la de un sólido o líquido.
Considere ahora un líquido de densidad en reposo, como se muestra en la figura 14.3.
Se supone que es uniforme en todo el líquido, esto significa que el líquido es incompresible.
Seleccione una muestra del líquido contenido dentro de un cilindro imaginario de
área de sección transversal A que se extiende desde la profundidad d a la profundidad d
h. El líquido externo a la muestra ejerce fuerzas en todos los puntos de la superficie de la
muestra, perpendicular a la superficie. La presión que ejerce el líquido en la cara inferior
de la muestra es P, y la presión en la cara superior es P 0 . Por lo tanto, la fuerza hacia arriba
que ejerce el fluido exterior sobre el fondo del cilindro tiene una magnitud PA, y la fuerza
descendente que se ejerce sobre la parte superior tiene magnitud P 0 A. La masa de líquido
en el cilindro es M V Ah; en consecuencia, el peso del líquido en el cilindro es
Mg Ahg. Ya que el cilindro está en equilibrio, la fuerza neta que actúa sobre él debe ser
cero. Al elegir hacia arriba como la dirección y positiva, se ve que
F S PA ĵ P 0 A ĵ Mg ĵ 0
o
PA P 0 A rAhg 0
Variación de la presión
con la profundidad
Ley de Pascal
P P 0 rgh
(14.4)
Es decir: la presión P a una profundidad h bajo un punto en el líquido donde la presión es
P 0 es mayor por una cantidad gh. Si el líquido se abre a la atmósfera y P 0 es la presión
en la superficie del líquido, en tal caso P 0 es la presión atmosférica. Al hacer los cálculos
y al trabajar los problemas al final del capítulo, por lo general la presión atmosférica se
considera como
P 0 1.00 atm 1.013 10 5 Pa
La ecuación 14.4 implica que la presión es la misma en todos los puntos que tengan la
misma profundidad, independientemente de la forma del contenedor.
Ya que la presión en un fluido depende de la profundidad y del valor de P 0 , cualquier
aumento en presión en la superficie debe transmitirse a todo otro punto en el fluido. Este
concepto lo reconoció por primera vez el científico francés Blaise Pascal (1623–1662)
y se llama ley de Pascal: un cambio en la presión aplicada a un fluido se transmite sin
disminución a todos los puntos del fluido y a las paredes del contenedor.
Una aplicación importante de la ley de Pascal es la prensa hidráulica que se ilustra en la
figura 14.4a. Una fuerza de magnitud F 1 se aplica a un pequeño pistón de área superficial
A 1 . La presión se transmite a través de un líquido incompresible a un pistón más grande
de área superficial A 2 . Ya que la presión debe ser la misma en ambos lados, P F 1 A 1
F 2 A 2 . En consecuencia, la fuerza F 2 es mayor que la fuerza F 1 en un factor A 2 A 1 . Al diseñar
una prensa hidráulica con áreas apropiadas A 1 y A 2 , se aplica una gran fuerza de salida mediante
una pequeña fuerza de entrada. Los frenos hidráulicos, elevadores de automóviles,
gatos hidráulicos y carretillas elevadoras utilizan este principio (figura 14.4b).
Puesto que no se agrega ni retira líquido del sistema, el volumen de líquido que se empuja
hacia abajo, a la izquierda de la figura 14.4a, mientras el pistón se mueve hacia abajo a
través de un desplazamiento x 1 es igual al volumen de líquido que se empuja hacia arriba,
en el lado derecho, mientras el pistón derecho se mueve hacia arriba a través de un desplazamiento
x 2 . Es decir, A 1 x 1 A 2 x 2 ; por lo tanto, A 2 A 1 x 1 x 2 . Ya se demostró
que A 2 A 1 F 2 F 1 . En consecuencia, F 2 F 1 x 1 x 2 , de modo que F 1 x 1 F 2 x 2 . Cada
lado de esta ecuación es el trabajo invertido por la fuerza sobre su pistón respectivo. Por
ende, el trabajo invertido por F S 1 sobre el pistón de entrada es igual al trabajo invertido
por F S 2 sobre el pistón de salida, como debe ser para conservar energía.