Serway-septima-edicion-castellano

40 Capítulo 2 Movimiento en una dimensión
v x
Área v xn, prom t n
v xn, prom
t i
t f
t
Figura 2.15 Velocidad en función del tiempo para una partícula que se mueve a lo largo del eje x. El
área del rectángulo sombreado es igual al desplazamiento x en el intervalo de tiempo t n , mientras que
el área total bajo la curva es el desplazamiento total de la partícula.
t n
sombreado en la figura 2.15, se conoce por x n = v xn, prom t n , donde v xn, prom es la velocidad
promedio en dicho intervalo. En consecuencia, el desplazamiento durante este pequeño
intervalo simplemente es el área del rectángulo sombreado. El desplazamiento total para
el intervalo t f t i es la suma de las áreas de todos los rectángulos desde t i hasta t f :
¢x
n
v xn, prom ¢t n
donde el símbolo (letra griega mayúscula sigma) significa una suma que incluye todos
los términos, esto es, completos los valores de n. Ahora, conforme los intervalos se hacen
cada vez más pequeños, el número de términos en la suma aumenta y la suma tiende a
un valor igual al área bajo la gráfica velocidad-tiempo. Debido a esto, en el límite n ,
o t n 0, el desplazamiento es
¢x lím
¢t n S 0 n
v xn ¢t n (2.18)
Observe que en la suma se sustituyó la velocidad promedio v xn, prom con la velocidad instantánea
v xn . Como puede ver en la figura 2.15, esta aproximación es válida en el límite de
intervalos muy pequeños. En consecuencia, si se conoce la gráfica v x –t para movimiento
a lo largo de una línea recta, se obtiene el desplazamiento durante cualquier intervalo de
tiempo al medir el área bajo la curva correspondiente a dicho intervalo de tiempo.
El límite de la suma que se muestra en la ecuación 2.18 se llama integral definida y se
escribe
Integral definida
lím
¢t n S 0 n
v xn ¢t n
t f
t i
v x 1t2dt (2.19)
donde v x (t) denota la velocidad en cualquier tiempo t. Si se conoce la forma funcional
explícita de v x (t) y se proporcionan los límites, se evalúa la integral. A veces la gráfica v x –t
para una partícula en movimiento tiene una forma mucho más simple que la mostrada
en la figura 2.15. Por ejemplo, suponga que una partícula se mueve con velocidad constante
v xi . En este caso, la gráfica v x –t es una línea horizontal, como en la figura 2.16, y el
desplazamiento de la partícula durante el intervalo de tiempo t simplemente es el área
del rectángulo sombreado:
x v xi t (cuando v x v xi constante)