Serway-septima-edicion-castellano

3.4 Componentes de un vector y vectores unitarios 61
o
y
R S 1A x B x 2 î 1A y B y 2 ĵ (3.14)
Puesto que R S
R x î R y ĵ, se ve que las componentes del vector resultante son
R x A x B x
(3.15)
R y
B y
R
B
R y A y B y
La magnitud de R S y el ángulo que forma con el eje x de sus componentes se obtienen con
las correspondencias
A y
A
A x
R x
B x
x
R R x
2
R y
2
1A x B x 2 2 1A y B y 2 2 (3.16)
tan u
R y
R x
A y B y
A x B x
(3.17)
Esta suma por componentes se comprueba con una construcción geométrica similar a
la que se muestra en la figura 3.16. Recuerde los signos de las componentes cuando use
el método algebraico o el gráfico.
En ocasiones es necesario considerar situaciones que implican movimiento en tres
componentes de dirección. La extensión de los métodos a vectores tridimensionales es directa.
Si A S
y B S tienen componentes x, y y z, se expresan en la forma
La suma de A S
y B S es
A S A x î A y ĵ A z kˆ (3.18)
B S B x î B y ĵ B z kˆ (3.19)
R S 1A x B x 2 î 1A y B y 2 ĵ 1A z B z 2 kˆ (3.20)
Distinga la ecuación 3.20 de la ecuación 3.14: en la ecuación 3.20, el vector resultante
también tiene una componente z, R z A z B z . Si un vector R S tiene componentes x, y y z,
la magnitud del vector es R R x
2
R y
2
R z 2 . El ángulo x que R S forma con el eje x se
encuentra de la expresión x R x /R, con expresiones similares para los ángulos respecto
de los ejes y y z.
Figura 3.16 Esta construcción
geométrica para la suma de dos
vectores muestra la relación entre
las componentes del resultante R S
y las componentes de los vectores
individuales.
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 3.4
Tangentes en calculadoras
La ecuación 3.17 involucra el
cálculo de un ángulo mediante
una función tangente. Por lo
general, la función tangente
inversa en las calculadoras
proporciona un ángulo entre
90° y 90°. En consecuencia,
si el vector que estudia se
encuentra en el segundo o
tercer cuadrantes, el ángulo
medido desde el eje x positivo
será el ángulo que dé su
calculadora más 180°.
Pregunta rápida 3.5 ¿Para cuáles de los siguientes vectores la magnitud del vector es
igual a una de las componentes del vector? a) A S 2 î 5 ĵ, b) B S 3 ĵ, c) C S 5 kˆ.
EJEMPLO 3.3
La suma de dos vectores
Encuentre la suma de dos vectores A S
y B S que se encuentran en el plano xy y está dada por
A S 12.0 î 2.0 ĵ 2 m y B S 12.0 î 4.0 ĵ 2 m
SOLUCIÓN
Conceptualizar
Puede formar conceptos de la situación al dibujar los vectores en papel gráfico.
Categorizar Clasifique este ejemplo como un simple problema de sustitución. Al comparar esta expresión para A S
con la expresión general A S
A x î A y ĵ A z kˆ, es claro que A x 2.0 m y A y 2.0 m. Del mismo modo, B x 2.0 m y
B y 4.0 m.
Aplique la ecuación 3.14 para obtener el vector resultante R S : R S A S B S 12.0 2.02 î m 12.0 4.02 ĵ m
Evalúe los componentes de R S : R x 4.0 m R y 2.0 m