Serway-septima-edicion-castellano

Sección 16.5 Rapidez de transferencia de energía mediante ondas sinusoidales en cuerdas 463
16.5 Rapidez de transferencia de energía
mediante ondas sinusoidales
en cuerdas
Las ondas transportan energía a través de un medio mientras se propagan. Por ejemplo,
suponga que un objeto cuelga de una cuerda estirada y se envía un pulso por la cuerda,
como en la figura 16.17a. Cuando el pulso llega al objeto suspendido, el objeto se desplaza
momentáneamente hacia arriba, como en la figura 16.17b. En el proceso se transfirió
energía al objeto y apareció como un aumento en la energía potencial gravitacional del
sistema objeto–Tierra. Esta sección examina la rapidez a la que se transporta la energía
a lo largo de una cuerda. Se supondrá una onda sinusoidal unidimensional en el cálculo
de la energía transferida.
Considere una onda sinusoidal que viaja en una cuerda (figura 16.18). La fuente de la
energía es algún agente externo en el extremo izquierdo, que realiza trabajo para producir
las oscilaciones. Se puede considerar que la cuerda es un sistema no aislado. A medida
que el agente externo realiza trabajo sobre el extremo de la cuerda, moviéndola hacia
arriba y hacia abajo, entra energía al sistema de la cuerda y se propaga a lo largo de su
longitud. Concentre su atención en un elemento infinitesimal de la cuerda de longitud dx
y masa dm. Cada uno de tales elementos se mueve verticalmente con movimiento armónico
simple. Por lo tanto, cada elemento de la cuerda se modela como un oscilador armónico
simple, con la oscilación en la dirección y. Todos los elementos tienen la misma frecuencia
angular y la misma amplitud A. La energía cinética K asociada con una partícula
móvil es K 1 2mv 2 . Si esta ecuación se aplica al elemento infinitesimal, la energía cinética
dK de este elemento es
dK
1
2 1dm2v y 2
donde v y es la rapidez transversal del elemento. Si es la masa por unidad de longitud
de la cuerda, la masa dm del elemento de longitud dx es igual a dx. Por tanto, la energía
cinética de un elemento de la cuerda se expresa como
1
dK 2 1 mdx2v 2 y (16.19)
Al sustituir con la ecuación 16.14 para la rapidez transversal general de un oscilador armónico
simple se obtiene
dK
1
2m3 vA cos 1kx vt24 2 dx
1
2mv 2 A 2 cos 2 1kx
vt2 dx
Si se toma una instantánea de la onda en el tiempo t 0, la energía cinética de un elemento
dado es
1
dK 2mv 2 A 2 cos 2 1kx2 dx
Al integrar esta expresión sobre todos los elementos de cuerda en una longitud de onda
de la onda produce la energía cinética total K A en una longitud de onda:
a)
b)
Figura 16.17 a) Pulso que viaja
hacia la derecha sobre una cuerda
estirada que tiene un objeto
suspendido en ella. b) Cuando el
pulso llega, se transmite energía
al objeto suspendido.
m
m
K l
dK
0
l
1
2mv 2 A 2 cos 2 1kx2 dx
1
2mv 2 A 2
0
l
cos 2 1kx2 dx
1
2mv 2 A 2 c 1 2x
1
4k sen 2kx d l
0
1
2mv 2 A 2 3 1 2l4
1
4mv 2 A 2 l
dm
Figura 16.18 Una onda sinusoidal que viaja a lo largo del eje x sobre una cuerda estirada. Todo
elemento de la cuerda se mueve verticalmente y todo elemento tiene la misma energía total.