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Sección 10.1 Posición, velocidad y aceleración angular 271
Pregunta rápida 10.1 Un objeto rígido da vueltas en un sentido contrario a las manecillas
del reloj en torno a un eje fijo. Cada uno de los siguientes pares de cantidades representa
una posición angular inicial y una posición angular final del objeto rígido. i) ¿Cuál
de los conjuntos sólo puede ocurrir si el objeto rígido da vueltas a través de más de 180°?
a) 3 rad, 6 rad, b) 1 rad, 1 rad, c) 1 rad, 5 rad. ii) Suponga que el cambio en posición
angular para cada uno de estos pares de valores se presenta en 1 s. ¿Cuál opción representa
la rapidez angular promedio más baja?
Si la rapidez angular instantánea de un objeto cambia de i a f en el intervalo de
tiempo t, el objeto tiene una aceleración angular. La aceleración angular promedio prom
(letra griega alfa) de un objeto rígido en rotación se define como la relación de cambio
en la rapidez angular respecto al intervalo de tiempo t durante el que se presenta el
cambio en la rapidez angular:
v f v i ¢v
a prom (10.4)
t f t i ¢t
En analogía con la aceleración lineal, la aceleración angular instantánea se define como
el límite de la aceleración angular promedio conforme t tiende a cero:
Aceleración angular
promedio
a
¢v
lím
¢tS0 ¢t
dv
dt
(10.5)
La aceleración angular tiene unidades de radianes por segundo al cuadrado (rad/s 2 ),
o simplemente s 2 . Note que es positivo cuando un objeto rígido que gira contra las
manecillas del reloj aumenta su velocidad o cuando un objeto rígido que gira en sentido
de las manecillas del reloj disminuye su velocidad durante cierto intervalo de tiempo.
Cuando un objeto rígido en rotación respecto a un eje fijo, cada partícula sobre el objeto
da vueltas a través del mismo ángulo en un intervalo de tiempo determinado y tiene
la misma rapidez angular y la misma aceleración angular. Es decir, las cantidades , y
caracterizan el movimiento rotacional de todo el objeto rígido así como las partículas
individuales en el objeto.
La posición angular (), la rapidez angular () y la aceleración angular () son análogas
a la posición traslacional (x), la rapidez traslacional (v) y la aceleración traslacional
(a). Las variables , y difieren dimensionalmente de las variables x, v y a sólo por un
factor que tiene la unidad de longitud. (Vea la sección 10.3.)
No se especificó dirección alguna para la rapidez angular y la aceleración angular.
Estrictamente hablando, y son las magnitudes de los vectores velocidad angular y
aceleración angular 1 v S
y a S , respectivamente, y siempre deben ser positivos. No obstante,
porque se considera rotación respecto a un eje fijo, se puede usar notación no vectorial e
indicar las direcciones de los vectores al asignar un signo positivo o negativo a y como
se explicó anteriormente respecto de las ecuaciones 10.3 y 10.5. Para rotación respecto a
un eje fijo, la única dirección que específica el movimiento rotacional esla dirección a lo
largo del eje de rotación. Por lo tanto, las direcciones de v S
y a S son a lo largo de este eje.
Si una partícula da vueltas en el plano xy como en la figura 10.2, la dirección de v S
para la
partícula es afuera del plano del diagrama cuando la rotación es contraria a las manecillas
del reloj y hacia el plano del diagrama cuando la rotación es en sentido de las manecillas
del reloj. Para ilustrar esta convención, es apropiado usar la regla de la mano derecha que
se demuestra en la figura 10.3. Cuando los cuatro dedos de la mano derecha se enrollan
en la dirección de rotación, el pulgar derecho extendido apunta en la dirección de v S .
La dirección de a S se sigue de su definición a S d v S /dt . Está en la misma dirección de
v S si la rapidez angular aumenta en el tiempo, y es antiparalela a v S si la rapidez angular
disminuye en el tiempo.
Aceleración angular
instantánea
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 10.2
Especifique su eje
Al resolver problemas de
rotación, debe especificar un
eje de rotación. Esta nueva
característica no existe en
el estudio del movimiento
traslacional. La elección es
arbitraria, pero una vez que
la hace, debe mantener
dicha elección sin ceder en
todo el problema. En algunos
problemas, la situación física
sugiere un eje natural, como
el centro de la rueda de un
automóvil. En otros problemas,
puede no haber una opción
obvia, y debe ejercitar su juicio.
1
Aunque no se verificó en este caso, la velocidad angular instantánea y la aceleración angular instantánea
son cantidades vectoriales, pero los correspondientes valores promedio no lo son porque los desplazamientos
no se suman como cantidades vectoriales para rotaciones finitas.
Figura 10.3 Regla de la mano
derecha para determinar la
dirección del vector velocidad
angular.