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254 Capítulo 9 Cantidad de movimiento lineal y colisiones
EJEMPLO 9.15 Empujar sobre un resorte 4
Como se muestra en la figura 9.22a, dos bloques están en reposo sobre una mesa a
nivel sin fricción. Ambos bloques tienen la misma masa m y están conectados mediante
un resorte de masa despreciable. La distancia de separación de los bloques cuando el
resorte está relajado es L. Durante un intervalo de tiempo t, se aplica horizontalmente
una fuerza constante F al bloque izquierdo y lo mueve una distancia x 1 , como se muestra
en la figura 9.22b. Durante este intervalo de tiempo, el bloque derecho se mueve una
distancia x 2 . Al final de este intervalo de tiempo, se retira la fuerza F.
A) Encuentre la rapidez resultante v S CM del centro de masa del sistema.
SOLUCIÓN
Conceptualizar Imagine lo que sucede mientras empuja sobre el bloque izquierdo.
Empieza a moverse hacia la derecha en la figura 9.22 y el resorte empieza a comprimirse.
Como resultado, el resorte empuja hacia la derecha el bloque derecho, que comienza
a moverse hacia la derecha. En cualquier momento dado, por lo general los bloques
se mueven con diferentes velocidades. A medida que el centro de masa del sistema se
mueve hacia la derecha, los dos bloques oscilan de ida y vuelta respecto del centro
de masa.
a)
b)
m
F
L
m
x 1
m mx 2
Figura 9.22 (Ejemplo 9.15) a) Dos
bloques de igual masa se conectan
mediante un resorte. b) El bloque
izquierdo se empuja con una fuerza
constante de magnitud F y se mueve
una distancia x 1 durante cierto
intervalo de tiempo. Durante este
mismo intervalo, el bloque derecho
se mueve una distancia x 2 .
Categorizar El sistema de dos bloques y un resorte no es un sistema aislado, porque se está invirtiendo trabajo en él por la
fuerza aplicada. Es un sistema deformable. Durante el intervalo de tiempo t, el centro de masa del sistema se mueve una
distancia 1 2(x 1 x 2 ). Ya que la fuerza aplicada en el sistema es constante, la aceleración de su centro de masa es constante y
el centro de masa se modela como una partícula bajo aceleración constante.
Analizar Se aplica el teorema impulso–cantidad de movimiento al sistema de dos bloques, y se reconoce que la fuerza F
es constante durante el intervalo t mientras se aplica la fuerza.
Escriba la ecuación 9.40 para el sistema: 1) F ¢t 12m2 1v CM 02 2mv CM
Ya que el centro de masa se modela como una partícula bajo aceleración constante, la velocidad promedio del centro de
masa es el promedio de la velocidad inicial, que es cero, y la velocidad final v CM .
Exprese el intervalo de tiempo en términos de v CM : ¢t
1
2 1x 1 x 2 2
v CM, prom
1
2 1x 1 x 2 2
1
2 10 v CM 2
1x 1 x 2 2
v CM
Sustituya esta expresión en la ecuación 1): F 1x 1 x 2 2
v CM
2mv CM
Resuelva para v CM : v CM F 1x 1 x 2 2
2m
B) Encuentre la energía total del sistema asociada con la vibración relativa a su centro de masa después de que se retira la
fuerza F.
SOLUCIÓN
Analizar La energía de vibración es toda la energía del sistema, distinta de la energía cinética asociada con el movimiento
traslacional del centro de masa. Para encontrar la energía vibratoria, se aplica la ecuación de conservación de la energía.
La energía cinética del sistema se puede expresar como K K CM K vib , donde K vib es la energía cinética de los bloques en
relación con el centro de masa debida a su vibración. La energía potencial del sistema es U vib , que es la energía potencial
almacenada en el resorte cuando la separación de los bloques es algún valor distinto de L.
Exprese la ecuación 8.2 para este sistema: 2) ¢K CM ¢K vib ¢U vib W
4
El ejemplo 9.15 fue inspirado en parte por C. E. Mungan, “A primer on work–energy relationships for introductory physics”, The Physics Teacher,
43 p. 10, 2005.