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256 Capítulo 9 Cantidad de movimiento lineal y colisiones
del cohete, así que dm dM. Note que dM es negativo porque representa una disminución
en masa, de modo que dM es un número positivo. Al usar este hecho se obtiene
Mdv v e dm v e dM (9.42)
Ahora divida la ecuación entre M e integre, tomando la masa inicial del cohete más combustible
como M i y la masa final del cohete más su combustible restante como M f . El
resultado es
v f
v i
dv v e
M f
M i
dM
M
Expresión para
propulsión de cohete
v f v i v e ln a M i
M f
b
(9.43)
que es la expresión básica para la propulsión de cohetes. Primero, la ecuación 9.43
señala que el aumento en la rapidez del cohete es proporcional a la rapidez de escape v e
de los gases expulsados. Por lo tanto, la rapidez de escape debe ser muy alta. Segundo, el
aumento en la rapidez del cohete es proporcional al logaritmo natural de la proporción
M i M f . En consecuencia, esta proporción debe ser tan grande como sea posible, es decir, la
masa del cohete sin combustible debe ser tan pequeña como sea posible y el cohete debe
llevar tanto combustible como sea posible.
El empuje en el cohete es la fuerza que ejercen sobre él los gases de escape expulsados.
A partir de la segunda ley de Newton y de la ecuación 9.42 se obtiene la siguiente expresión
para el empuje:
Empuje
M dv
dt
` v e
dM
dt
` (9.44)
Esta expresión muestra que el empuje aumenta conforme la rapidez de escape aumenta y
conforme aumenta la relación de cambio de masa (llamada rapidez de consumo).
EJEMPLO 9.16
Combate de incendios
Dos bomberos deben aplicar una fuerza total de 600 N para estabilizar una manguera que descarga agua a una proporción
de 3 600 Lmin. Estime la rapidez del agua conforme sale de la boquilla.
SOLUCIÓN
Conceptualizar Conforme el agua sale de la boquilla, actúa en una forma similar a los gases que se expulsan del motor
de un cohete. Como resultado, una fuerza (empuje) actúa sobre los bomberos en una dirección opuesta a la dirección de
movimiento del agua. En este caso se quiere que el extremo de la manguera sea una partícula en equilibrio, en lugar de que
acelere como en el caso del cohete. En consecuencia, los bomberos deben aplicar una fuerza de magnitud igual al empuje
en la dirección opuesta para mantener fijo el extremo de la manguera.
Categorizar Este ejemplo es un problema de sustitución en el que se usan valores conocidos en una ecuación deducida
en esta sección. El agua sale a 3 600 Lmin, que es 60 Ls. Al saber que 1 L de agua tiene una masa de 1 kg, se estima que
aproximadamente 60 kg de agua salen de la boquilla cada segundo.
Use la ecuación 9.44 para el empuje: Empuje ` v e
dM
dt
Sustituya los valores conocidos: 600 N 0v e 160 kg>s2 0
Resuelva para la rapidez de escape: v e 10 m>s