Serway-septima-edicion-castellano

246 Capítulo 9 Cantidad de movimiento lineal y colisiones
y
m 1
x CM
x 1
x 2 CM
m 2
x
Por ejemplo, si x 1 0, x 2 d y m 2 2m 1 , se encuentra que x CM 2 3d. Es decir, el centro
de masa se encuentra más cerca de la partícula más pesada. Si las dos masas son iguales,
el centro de masa se encuentra a medio camino entre las partículas.
Se puede extender este concepto a un sistema de muchas partículas con masas m i en
tres dimensiones. La coordenada x del centro de masa de n partículas se define como
Figura 9.14 El centro de masa
de dos partículas de masa distinta
sobre el eje x se ubica en x CM , un
punto entre las partículas, más
cerca de la que tiene la mayor
masa.
x CM
m 1 x 1 m 2 x 2 m 3 x 3
p m n x n
m 1 m 2 m 3
p m n
i
i
m i x i
m i
i
m i x i
donde x i es la coordenada x de la i–ésima partícula y la masa total es M
M
1
M i
m i x i (9.29)
i
m i , donde la
suma incluye las n partículas. Las coordenadas y y z del centro de masa se definen de igual
modo por las ecuaciones
y CM
1
M i
m i y i y z CM
1
M i
m i z i (9.30)
El centro de masa se puede ubicar en tres dimensiones mediante su vector de posición
S
rCM. Las componentes de este vector son x CM , y CM y z CM , definidas en las ecuaciones 9.29
y 9.30. Por lo tanto,
S
rCM x CM î y CM ĵ z CM kˆ
1
M i
m i x i î
1
M i
m i y i ĵ
1
M i
m i z i kˆ
S
rCM
1
M i
m i r S i
(9.31)
donde r S i es el vector de posición de la i–ésima partícula, definida por
S
ri x i î y i ĵ z i kˆ
z
y
r i
r CM
m
i
CM
Figura 9.15 Un objeto
extendido se considera como
una distribución de pequeños
elementos de masa m i . El
centro de masa se ubica en la
posición vectorial S r CM, que tiene
coordenadas x CM , y CM y z CM .
x
Aunque ubicar el centro de masa para un objeto extendido es un poco más problemático
que ubicar el centro de masa de un sistema de partículas, las ideas básicas discutidas
aún se aplican. Piense en un objeto extendido como un sistema que contiene un gran
número de partículas (figura 9.15). Ya que la separación de las partículas es muy pequeña,
se considera que el objeto tiene una distribución de masa continua. Al dividir el objeto en
elementos de masa m i con coordenadas x i , y i , z i , se ve que la coordenada x del centro de
masa es aproximadamente
x CM
1
M i
x i ¢m i
con expresiones similares para y CM y z CM . Si se hace que el número n de elementos tienda a
infinito, el tamaño de cada elemento tiende a cero y x CM se conoce con precisión. En este
límite, se sustituye la suma mediante una integral y m i por el elemento diferencial dm:
x CM
Del mismo modo, para y CM y z CM se obtiene
y CM
1
M
1
1
lim x i ¢m i
¢m i S0 M i M
y dm y z CM
1
M
x dm (9.32)
z dm (9.33)
La posición vectorial del centro de masa de un objeto extendido se expresa en la forma
S
rCM
1
M rS dm (9.34)
que es equivalente a las tres expresiones dadas por las ecuaciones 9.32 y 9.33.