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472 Capítulo 16 Movimiento ondulatorio
longitud de la cuerda es L y su masa es m M. Deduzca
una expresión para el intervalo de tiempo para que una onda
transversal viaje de un extremo de la cuerda al otro.
m, L
Figura P16.52
53. Una cuerda con densidad lineal de 0.500 gm se mantiene
bajo tensión de 20.0 N. A medida que una onda sinusoidal
transversal se propaga en la cuerda, los elementos de la
cuerda se mueven con máxima rapidez v y,máx . a) Determine
la potencia transmitida por la onda como función de v y,máx .
b) Establezca cómo la potencia depende de v y,máx . c) Encuentre
la energía contenida en una sección de cuerda de 3.00 m
de largo. Exprésela como función de v y,máx y la masa m 3 de esta
sección. d) Encuentre la energía que la onda porta al pasar por
un punto en 6.00 s.
54. Una onda sinusoidal en una soga se describe mediante la función
de onda
y 10.20 m2 sen 10.75px 18pt2
donde x y y están en metros y t en segundos. La soga tiene una
densidad de masa lineal de 0.250 kgm. La tensión en la soga
la proporciona un arreglo como el que se ilustra en la figura
16.12. ¿Cuál es la masa del objeto suspendido?
55. Un bloque de 0.450 kg de masa se une al un extremo de una
cuerda de 0.003 20 kg de masa; el otro extremo de la cuerda se
une a un punto fijo. El bloque da vueltas con rapidez angular
constante en un círculo sobre una mesa horizontal sin fricción.
¿A través de qué ángulo el bloque da vueltas en el intervalo de
tiempo durante el que una onda transversal viaja a lo largo de
la cuerda desde el centro del círculo hasta el bloque?
56. Un alambre de densidad se afila de modo que su área de
sección transversal varía con x de acuerdo con
A 11.0 10 3 x 0.0102 cm 2
a) La tensión en el alambre es T. Deduzca una relación para
la rapidez de una onda como función de la posición. b) ¿Qué
pasaría si? Suponga que el alambre es de aluminio y está bajo
una tensión de 24.0 N. Determine la rapidez de onda en el
origen y en x 10.0 m.
57. Una soga con masa total m y longitud L está suspendida verticalmente.
Demuestre que un pulso transversal recorre la
longitud de la soga en un intervalo de tiempo ¢t 2 L>g .
Sugerencia: Primero encuentre una expresión para la rapidez
de onda en cualquier punto a una distancia x desde el extremo
inferior, al considerar la tensión de la soga como resultado del
peso del segmento abajo de dicho punto.
58. Suponga que un objeto de masa M está suspendido de la parte
baja de la soga en el problema 57. a) Demuestre que el interva-
M
lo de tiempo para que un pulso transversal recorra la longitud
de la soga es
¢t 2
L
mg 1 M m M 2
¿Qué pasaría si? b) Demuestre que la expresión en el inciso
a) se reduce al resultado del problema 57 cuando M 0. c)
Demuestre que para m M, la expresión en el inciso a) se
reduce a
¢t
mL
Mg
59. En el problema 57 se establece que un pulso viaja desde la
parte baja hasta lo alto de una soga colgante de longitud L en
un intervalo de tiempo ¢t 2 L>g . Use este resultado para
responder las siguientes preguntas. (No es necesario establecer
alguna integración nueva.) a) ¿Durante qué intervalo de tiempo
un pulso viaja a la mitad de la soga? Dé su respuesta como
una fracción de la cantidad 2 L>g . b) Un pulso comienza a
viajar por la soga. ¿Qué distancia viajó el pulso después de un
intervalo de tiempo L>g ?
60. Si un rizo de cadena se hace girar con gran rapidez, puede
rodar a lo largo del suelo como un aro circular sin colapsar.
Considere una cadena con densidad de masa lineal uniforme
cuyo centro de masa viaja hacia la derecha con gran rapidez
v 0 . a) Determine la tensión en la cadena en términos de y v 0 .
b) Si el rizo rueda sobre un bache, la deformación resultante
de la cadena hace que dos pulsos transversales se propaguen a
lo largo de la cadena, uno en sentido de las manecillas del reloj
y otra en sentido contrario. ¿Cuál es la rapidez de los pulsos
que viajan a lo largo de la cadena? c) ¿A través de qué ángulo
viaja cada pulso durante el intervalo de tiempo en el que el
rizo da una revolución?
61. Problema de repaso. Un alambre de aluminio se sujeta fuertemente
en cada extremo bajo tensión cero a temperatura
ambiente. Al reducir la temperatura, lo que resulta en una
disminución en la longitud de equilibrio del alambre, aumenta
la tensión en el alambre. ¿Qué deformación (LL) resulta
en una rapidez de onda transversal de 100 ms? Considere
que el área de sección transversal del alambre es igual a 5.00
10 6 m 2 , la densidad es de 2.70 10 3 kgm 3 y el módulo de
Young es 7.00 10 10 Nm 2 .
62. a) Demuestre que la rapidez de las ondas longitudinales a lo
largo de un resorte con constante de fuerza k es v kL> m,
donde L es la longitud no estirada del resorte y es la masa
por unidad de longitud. b) Un resorte con una masa de 0.400
kg tiene una longitud no estirada de 2.00 m y una constante
de fuerza de 100 Nm. Con el resultado obtenido en el inciso
a), determine la rapidez de las ondas longitudinales a lo largo
de este resorte.
63. Un pulso que viaja a lo largo de una cuerda con densidad de
masa lineal se describe mediante la función de onda
y 3A 0 e bx 4 sen 1kx vt2
donde el factor entre corchetes se dice que es la amplitud. a)
¿Cuál es la potencia (x) que porta esta onda en un punto x?
b) ¿Cuál es la potencia que porta esta onda en el origen? c)
Calcule la proporción (x)/ (0).
64. Un terremoto en el suelo del océano del golfo de Alaska
produce un tsunami que alcanza Hilo, Hawaii, a 4 450 km
de distancia, en un intervalo de tiempo de 9 h 30 min. Los
tsunami tienen enormes longitudes de onda (100 a 200 km)
2 intermedio; 3 desafiante; razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo