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276 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
C) ¿Cuál es la aceleración angular del disco compacto sobre el intervalo de tiempo de 4 473 s?
SOLUCIÓN
Categorizar De nuevo modele el disco como un objeto rígido bajo aceleración angular constante. En este caso, la ecuación
10.6 da el valor de la aceleración angular constante. Otra aproximación es usar la ecuación 10.4 para encontrar la aceleración
angular promedio. En este caso, no se supone que la aceleración angular sea constante. La respuesta es la misma
de ambas ecuaciones; sólo la interpretación del resultado es diferente.
v f v i 22 rad>s 57 rad>s
Analizar Use la ecuación 10.6 para encontrar la aceleración
angular:
a
7.8 10 3 rad>s 2
t
4 473 s
Finalizar El disco experimenta una disminución muy gradual en su rapidez de rotación, como se espera del largo intervalo
de tiempo requerido para que la rapidez angular cambie del valor inicial al valor final. En realidad, la aceleración angular del
disco no es constante. El problema 20 le permite explorar el comportamiento del tiempo real de la aceleración angular.
eje z
10.4 Energía cinética rotacional
O
r i
v i
m i
En el capítulo 7 se definió la energía cinética de un objeto como la energía asociada con
su movimiento a través del espacio. Un objeto rotatorio en torno a un eje fijo permanece
estacionario en el espacio, así que no hay energía cinética asociada con el movimiento
traslacional. No obstante, las partículas individuales que conforman el objeto en rotación
se mueven a través del espacio; siguen trayectorias circulares. En consecuencia, con el
movimiento rotacional hay energía cinética asociada.
Considere un objeto como un conjunto de partículas y suponga que da vueltas en torno
a un eje fijo z con una rapidez angular . La figura 10.7 muestra al objeto en rotación e
identifica una partícula sobre el objeto ubicada a una distancia r i del eje de rotación. Si la
masa de la i–ésima partícula es m i y su rapidez tangencial es v i , su energía cinética es
Figura 10.7 Un objeto rígido
en rotación en torno al eje z con
rapidez angular . La energía
cinética de la partícula de masa m i
es 1 2m i v 2 i . La energía cinética total
del objeto se llama energía
cinética rotacional.
K i
1
2m i v i
2
Para continuar, recuerde que aunque cada partícula en el objeto rígido tiene la misma
rapidez angular , las magnitudes de velocidad tangenciales individuales dependen de la
distancia r i desde el eje de rotación de acuerdo con la ecuación 10.10. La energía cinética
total del objeto rígido en rotación es la suma de las energías cinéticas de las partículas
individuales:
K R
Esta expresión se puede escribir en la forma
i
K i
i
1 2 1
2m i v i 2
i
m i r i 2 v 2
Momento de inercia
Energía cinética
rotacional
K R
1
2 a
i
m i r i 2 b v 2 (10.14)
donde 2 se factorizó de la suma porque es común a toda partícula. Esta expresión se
simplifica al definir la cantidad entre paréntesis como el momento de inercia I:
I
i
m i r i
2
(10.15)
De la definición de momento de inercia, 2 se ve que tiene dimensiones de ML 2 (kg·m 2 en
unidades del SI). Con esta notación, la ecuación 10.14 se convierte
K R
1
2Iv 2 (10.16)
Aunque comúnmente la cantidad 1 2 I2 se refiere como energía cinética rotacional, no es
una forma nueva de energía. Es energía cinética ordinaria porque se deduce de una suma
2
Los ingenieros civiles usan el momento de inercia para caracterizar las propiedades elásticas (rigidez) de
estructuras tales como las vigas de carga. En consecuencia, con frecuencia es útil incluso en un contexto
no rotacional.