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Problemas 529
a) Hallar la rapidez de las ondas transversales en la cuerda.
b) Las posibilidades de vibración de la cuerda son un conjunto
de estados de onda estacionaria, cada uno con un nodo en el
extremo inferior fijo y un antinodo en el extremo superior
libre. Encuentre las distancias nodo–antinodo para cada uno
de los tres estados más simples. c) Encuentre la frecuencia de
cada uno de estos estados.
53. Dos silbatos de tren tienen frecuencias idénticas de 180 Hz.
Cuando un tren está en reposo en la estación y el otro se
mueve cerca, un viajante que está de pie en la plataforma de
la estación escucha batimientos con una frecuencia de 2.00
batimientos/s, cuando los silbatos funcionan juntos. ¿Cuáles
son las dos posibles magnitudes de velocidad y direcciones que
puede tener el tren en movimiento?
54. Una cuerda fija en ambos extremos y que tiene una masa de
4.80 g, una longitud de 2.00 m y una tensión de 48.0 N, vibra
en su segundo modo normal (n 2). ¿Cuál es la longitud de
onda en el aire del sonido emitido por esta cuerda oscilante?
55. Dos alambres se sueldan juntos por los extremos. Los alambres
están hechos del mismo material, pero el diámetro de uno
tiene el doble del otro. Ambos están sujetos a una tensión de
4.60 N. El alambre delgado tiene una longitud de 40.0 cm y
una densidad de masa lineal de 2.00 g/m. La combinación está
fija en ambos extremos y vibra en tal forma que los dos antinodos
están presentes, con el nodo entre ellos precisamente en
la soldadura. a) ¿Cuál es la frecuencia de vibración? b) ¿Cuál
es la longitud del alambre grueso?
56. Una cuerda con 1.60 g/m de densidad lineal se estira entre dos
tornillos de banco separados 48.0 cm. La cuerda no se estira
apreciablemente mientras la tensión en él se eleva de manera
estable de 15.0 N en t 0 a 25.0 N en t 3.50 s. Por lo tanto,
la tensión como función del tiempo se conoce por la expresión
T 15.0 N (10.0 N)t/3.50 s. La cuerda vibra en su modo
fundamental a lo largo de este proceso. Encuentre el número
de oscilaciones que completa durante el intervalo de 3.50 s.
57. Se establece una onda estacionaria en una cuerda de longitud
y tensión variables por medio de un vibrador de frecuencia
variable. Ambos extremos de la cuerda están fijos. Cuando el
vibrador tiene una frecuencia f, en una cuerda de longitud L
y bajo tensión T, se establecen n antinodos en la cuerda. a) Si
la longitud de la cuerda se duplica, ¿en qué factor cambiará la
frecuencia de modo que se produzca el mismo número de antinodos?
b) Si la frecuencia y longitud se mantienen constantes,
¿qué tensión producirá n 1 antinodos? c) Si la frecuencia se
triplica y la longitud de la cuerda se acorta a la mitad, ¿en qué
factor cambiará la tensión de modo que se produzca el doble
de antinodos?
58. Problema de repaso. Para el arreglo que se muestra en la figura
P18.58, 30.0°, el plano inclinado y la pequeña polea
no tienen fricción, la cuerda soporta el objeto de masa M en
el fondo del plano y la cuerda tiene masa m que es pequeña
comparada con M. El sistema está en equilibrio y la parte vertical
de la cuerda tiene una longitud h. En la sección vertical
de la cuerda se establecen ondas estacionarias. a) Encuentre la
tensión en la cuerda. b) Modele la forma de la cuerda como un
cateto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Encuentre
la longitud total de la cuerda. c) Localice la masa por unidad
de longitud de la cuerda. d) Encuentre la rapidez de las ondas
en la cuerda. e) Halle la frecuencia más baja para una onda
estacionaria. f) Encuentre el periodo de la onda estacionaria
h
Figura P18.58
que tiene tres nodos. g) Ubique la longitud de onda de la onda
estacionaria que tiene tres nodos. h) Encuentre la frecuencia
de los batimientos resultantes de la interferencia de la onda
sonora de frecuencia más baja, generada por la cuerda, con
otra onda sonora que tenga una frecuencia que es 2.00%
mayor.
59. Dos ondas se describen mediante las funciones de onda
y 1 1x, t2 15.0 m2 sen 12.0x 10t2
y 2 1x, t2 110 m2 cos 12.0x 10t2
donde y 1 , y 2 y x están en metros y t en segundos. Demuestre
que la onda resultante a partir de su sobreposición también
es sinusoidal. Determine la amplitud y fase de esta onda sinusoidal.
60. Un reloj de cuarzo contiene un oscilador de cristal en forma
de bloque de cuarzo que vibra mediante contracción y expansión.
Dos caras opuestas del bloque, separadas 7.05 mm, son
antinodos, y se mueven de manera alterna acercándose y alejándose
mutuamente. El plano a la mitad entre estas dos caras
es un nodo de la vibración. La rapidez del sonido en el cuarzo
es de 3.70 km/s. Encuentre la frecuencia de la vibración. Un
voltaje eléctrico oscilatorio acompaña la oscilación mecánica;
el cuarzo se describe como piezoeléctrico. Un circuito eléctrico
alimenta energía para mantener la oscilación y también cuenta
los pulsos de voltaje para mantener el tiempo.
61. Problema de repaso. Un objeto de 12.0 kg cuelga en equilibrio
de una cuerda con una longitud total de L 5.00 m y una
densidad de masa lineal 0.001 00 kg/m. La cuerda se enrolla
alrededor de dos poleas ligeras sin fricción separadas una
distancia d 2.00 m (figura P18.61a). a) Determine la tensión
en la cuerda. b) ¿A qué frecuencia debe vibrar la cuerda entre
las poleas para formar el patrón de onda estacionaria que se
muestra en la figura P18.61b?
d
a)
m
g
u
Figura P18.61
d
b)
M
m
2 intermedio; 3 desafiante; razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo