Serway-septima-edicion-castellano

A cada lado de la ecuación 8.11 se añade la integral del producto escalar de la fuerza de
fricción cinética y d r S :
W otras fuerzas f S k dr S 1 F S otras fuerzas2 d r S f S k d r S
Sección 8.3 Situaciones que incluyen fricción cinética 205
1 F S otras fuerzas f S k2 d r S
El integrando en el lado derecho de esta ecuación es la fuerza neta F S , de modo que
W otras fuerzas f S k # dr S F S # dr
S
Al incorporar la segunda ley de Newton F S ma S se obtiene
W S otras fuerzas fk d S r ma S d S r m d vS
dt
d r S
t i
t f
m d vS
dt
S
v dt (8.12)
donde se usó la ecuación 4.3 para rescribir d r S como v S dt. El producto escalar obedece la
regla del producto para la derivación (véase la ecuación B.30 en el apéndice B.6), de modo
que la derivada del producto escalar de v S consigo misma se puede escribir
d
dt 1vS # v S 2
dv S
dt # dv S
v S v #
S
dt
2 dvS
dt # v S
donde se usó la propiedad conmutativa del producto escalar para justificar la expresión
final en esta ecuación. En consecuencia,
dv S
# S v 1 d
# S 2
dt dt 1vS v2
1 dv 2
2
dt
Al sustituir este resultado en la ecuación 8.12 se obtiene
W otras fuerzas f S k # dr S t f
t i
m a 1 2
dv 2
dt b dt 1
2m d 1v 2 2
v i
v f
1 2 1 2
2mv f 2mv i ¢K
Al observar el lado izquierdo de esta ecuación, observe que, en el marco inercial de la
superficie, f S k y d r S estarán en direcciones opuestas para cada incremento d r S de la trayectoria
que sigue el objeto. En consecuencia, f S k d r S f k dr. Ahora la expresión anterior
se convierte en
W otras fuerzas f k dr ¢K
En el modelo para la fricción, la magnitud de la fuerza de fricción cinética es constante,
de modo de f k se puede sacar de la integral. La integral restante dx es simplemente la
suma de incrementos de longitud a lo largo de la trayectoria, que es la longitud de trayectoria
total d. Por lo tanto,
o
W otras fuerzas f k d ¢K (8.13)
K f K i f k d W otras fuerzas (8.14)
La ecuación 8.13 es una forma modificada del teorema trabajo–energía cinética que se
aplica cuando una fuerza de fricción actúa sobre un objeto. El cambio en energía cinética
es igual al trabajo invertido por todas las fuerzas distintas de la fricción menos un término
f k d asociado con la fuerza de fricción.
Ahora considere el sistema más grande del libro y la superficie a medida que el libro
frena bajo la influencia de una fuerza de fricción sola. No hay trabajo invertido a través
de la frontera de este sistema porque el sistema no interactúa con el medio ambiente. No
hay otros tipos de transferencia de energía que ocurran a través de la frontera del sistema,
¡suponiendo que se ignora el inevitable sonido que hace el libro al deslizarse! En este caso,
la ecuación 8.2 se convierte en
E sistema K E int 0