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448 Capítulo 15 Movimiento oscilatorio
m
r
Figura P15.69
Tierra
70. Su pulgar rechina en un plato que acaba de lavar. Sus zapatos
tenis rechinan en el piso del gimnasio. Las llantas de los autos
rechinan con un arranque o frenado abrupto. Las uniones de
las cerraduras gimen en un viejo granero. El violín concertino
suena sobre toda una orquesta. Usted puede hacer cantar
un cáliz al secar su dedo humedecido alrededor de su borde.
Mientras lo desliza a través de una mesa, un vaso de espuma
de estireno puede no hacer mucho sonido, pero hace que
la superficie de un poco de agua en su interior baile en una
complicada vibración de resonancia. Cuando el gis rechina
en un pizarrón, usted puede ver que hace una hilera de rayas
regularmente espaciadas. Como sugieren estos ejemplos, la
vibración comúnmente resulta cuando la fricción actúa sobre
un objeto elástico en movimiento. La oscilación no es un movimiento
armónico simple, sino que se llama pegar y deslizar.
Este problema modela el movimiento de pegar y deslizar.
Un bloque de masa m se une a un soporte fijo mediante
un resorte horizontal, con constante de fuerza k y masa despreciable
(figura P15.70). La ley de Hooke describe el resorte
tanto en extensión como en compresión. El bloque descansa
sobre una larga tabla horizontal, con la que tiene coeficiente
de fricción estático s y un coeficiente de fricción cinética
k menor. La tabla se mueve hacia la derecha con rapidez
constante v. Suponga que el bloque pasa la mayor parte de su
tiempo pegado a la tabla y en movimiento hacia la derecha,
de modo que la rapidez v es pequeña en comparación con
la rapidez promedio que tiene el bloque mientras se desliza
de regreso hacia la izquierda. a) Demuestre que la máxima
extensión del resorte, desde su posición no estirada, es muy
cercana a la que se conoce mediante s mg/k. b) Demuestre
que el bloque oscila en torno a una posición de equilibrio en
la que el resorte se estira en k mg/k. c) Grafique la posición
del bloque con el tiempo. d) Demuestre que la amplitud del
movimiento del bloque es
1 m s m k 2mg
A
k
e) Demuestre que el periodo del movimiento del bloque es
T
2 1 m s m k 2mg
vk
f) Evalúe la frecuencia del movimiento, si considera s
0.400, k 0.250, m 0.300 kg, k 12.0 N/m y v 2.40
cm/s. g) ¿Qué pasaría si? ¿Qué sucede con la frecuencia si
aumenta la masa? h) ¿Si aumenta la constante de resorte? i) ¿Si
aumenta la rapidez de la tabla? j) ¿Si aumenta el coeficiente de
fricción estática relativo con el coeficiente de fricción cinética?
El exceso de fricción estática sobre la cinética es el que resulta
importante para la vibración. “La rueda chirriante obtiene la
grasa”, porque incluso un fluido viscoso no puede ejercer una
fuerza de fricción estática.
Figura P15.70
p
m k
Respuestas a las preguntas rápidas
15.1 d). Desde su máxima posición positiva a la posición de equilibrio,
el bloque recorre una distancia A. Enseguida recorre
una distancia igual y pasa la posición de equilibrio a su máxima
posición negativa. Luego repite estos dos movimientos
en la dirección inversa para regresar a su posición original y
completar un ciclo.
15.2 f). El objeto está en la región x 0, así que la posición es negativa.
Ya que el objeto se mueve de regreso hacia el origen
en esta región, la velocidad es positiva.
15.3 a). La amplitud es mayor porque la curva para el objeto B
muestra que el desplazamiento desde el origen (el eje vertical
en la gráfica) es mayor. La frecuencia es mayor para
el objeto B porque hay más oscilaciones por intervalo de
tiempo unitario.
15.4 b). De acuerdo con la ecuación 15.13, el periodo es proporcional
a la raíz cuadrada de la masa.
15.5 c). La amplitud del movimiento armónico simple es la misma
que el radio del movimiento circular. La posición inicial del
objeto en su movimiento circular es radianes desde el eje
x positivo.
15.6 i), a). Con una longitud mayor, el periodo del péndulo aumentará.
Por lo tanto, tomará más tiempo en ejecutar cada
balanceo, así que cada segundo de acuerdo con el reloj tardará
más que un segundo real y el reloj funcionará lento. ii), a).
En lo alto de la montaña, el valor de g es menor que a nivel
del mar. Como resultado, el periodo del péndulo aumentará
y el reloj funcionará lento.
2 intermedio; 3 desafiante; razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo