Serway-septima-edicion-castellano

Sección 15.3 Energía del oscilador armónico simple 427
K,
1
2 kA2 U K
U
= 0
1
2
1
2
U = kx 2 K = mv 2
K, U
Figura 15.9 a) Energía cinética y energía potencial en función
del tiempo para un oscilador armónico simple con 0.
b) Energía cinética y energía potencial con la posición para
un oscilador armónico simple. En cualquier gráfica, note que
K U constante.
T
2
a)
T
t
–A
O
b)
A x
Por último, la velocidad del bloque en una posición arbitraria se obtiene al expresar la
energía total del sistema en alguna posición arbitraria x como
1
E K U 2mv 2 1 2kx 2 1 2kA 2
k
v ;
m 1A2 x 2 2 ; v A 2 x 2
(15.22)
Al comprobar la ecuación 15.22 para ver si concuerda con casos conocidos, se encuentra
que verifica que la rapidez es un máximo en x 0 y es cero en los puntos de retorno
x A.
Es posible que se pregunte por qué se pasa tanto tiempo en el estudio de los osciladores
armónicos simples. La respuesta es porque son buenos modelos de una amplia variedad
de fenómenos físicos. Por ejemplo, recuerde el potencial Lennard–Jones explicado en
el ejemplo 7.9. Esta complicada función describe las fuerzas que mantienen unidos a los
átomos. La figura 15.11a muestra que, para pequeños desplazamientos desde la posición
de equilibrio, la curva de energía potencial para esta función se aproxima a una parábola,
que representa la función de energía potencial para un oscilador armónico simple. Por
lo tanto, las fuerzas complejas de enlace atómico se modelan como debida a pequeños
resortes, como se bosqueja en la figura 15.11b.
Velocidad como función
de la posición para un
oscilador armónico
simple
a máx
t x v a K U
100 %
50
0 0 2 1
A
A 0
0
2 kA2
v máx
100 %
50
T
0
A 1
0
0
0
4
2 kA2
a máx
a máx
v máx
–A 0 A
100 %
50
0
100 %
50
0
100 %
50
0
Energía
cinética
Energía
potencial
Energía
total
0 2 A 0
Figura 15.10 Varios instantes en el movimiento armónico simple para un sistema bloque–resorte. Las gráficas de barras de energía muestran
la distribución de la energía del sistema en cada instante. Los parámetros en la tabla de la derecha se refieren al sistema bloque–resorte, si
supone que en t 0, x A; por eso, x A cos t.
T
2
3T
4
T
A
0
A
A
0
0
2 A
1
2 kA2
0
1
2 kA2
0
1
2 kA2