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Sección 21.4 Equipartición de la energía 597
Analizar
Aplique la ecuación 21.19 para hallar la presión final:
P f
P i a V g
i
b
V f
1.40
800.0 cm3
11.00 atm2 a
60.0 cm b 3
37.6 atm
Use la ley de gas ideal para encontrar la temperatura final:
P i V i
T i
P f V f
T f
a)
T f
P f V f 137.6 atm2 160.0 cm 3 2
T
P i V i 1293 K2
i 11.00 atm2 1800.0 cm 3 2
826 K 553°C
Finalizar La temperatura del gas aumenta en un factor de 826 K/293 K 2.82. La alta compresión en un motor diesel
eleva la temperatura del combustible lo suficiente como para provocar su combustión sin el uso de bujías.
21.4 Equipartición de la energía
Las predicciones basadas en el modelo para calor específico molar concuerdan bastante
bien con el comportamiento de los gases monoatómicos, pero no con el comportamiento
de los gases complejos (véase la tabla 21.2). Sin embargo, el valor predicho por el modelo
para la cantidad C P C V R, es el mismo para todos los gases. Dicha similitud no sorprende
porque esta diferencia es el resultado del trabajo consumido en el gas, que es
independiente de su estructura molecular.
Para aclarar las variaciones en C V y C P en los gases más complejos que los gases monoatómicos,
explore aún más el origen del calor específico molar. Hasta el momento,
se ha supuesto que la única contribución a la energía interna de un gas es la energía
cinética traslacional de las moléculas. No obstante, la energía interna de un gas incluye
aportaciones de los movimientos traslacional, vibratorio y rotacional de las moléculas. Los
movimientos rotacional y vibratorio de las moléculas se activan mediante colisiones y, por
lo tanto, se “acoplan” con el movimiento traslacional de las moléculas. La rama de la física
conocida como mecánica estadística ha demostrado que, para un gran número de partículas
que obedecen las leyes de la mecánica newtoniana, la energía disponible se comparte, en
promedio, de manera equitativa por cada grado de libertad independiente. Recuerde de
la sección 21.1 que el teorema de equipartición establece que, en equilibrio, cada grado
de libertad aporta 1 2k B T de energía por cada molécula.
Considere un gas diatómico cuyas moléculas tienen la forma de una mancuerna (figura
21.6). En este modelo, el centro de masa de la molécula se traslada en las direcciones x,
y y z (figura 21.6a). Además, la molécula puede girar en torno a tres ejes mutuamente
perpendiculares (figura 21.6b). La rotación en torno al eje y se puede despreciar, porque
el momento de inercia I y de la molécula y su energía rotacional 1 2I y 2 en torno a este
eje son despreciables comparadas con las asociadas a los ejes x y z. (Si los dos átomos se
modelan como partículas, en tal caso I y es idénticamente cero.) Por ende, hay cinco grados
de libertad para traslación y rotación: tres asociados con el movimiento traslacional y
dos asociados con el movimiento rotacional. Ya que cada grado de libertad aporta, en
promedio, 1 2k B T de energía por cada molécula, la energía interna para un sistema de N
moléculas, ignorando por ahora la vibración, es
E int 3N 1 1 2k B T2 2N 1 1 2k B T2
5
2Nk B T
5
2nRT
Se puede usar este resultado y la ecuación 21.13 para encontrar el calor específico
molar a volumen constante:
1 dE int 1 d
C V
n dT n dT 15 5
2nRT2 2R (21.21)
x
x
x
Figura 21.6 Posibles
movimientos de una molécula
diatómica: a) movimiento
traslacional del centro de masa,
b) movimiento rotacional en
torno a los diferentes ejes y
c) movimiento vibratorio a lo
largo del eje molecular.
z
z
b)
z
c)
y
y
y