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274 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
O
y
v
r
P
s
x
da vueltas respecto a un eje fijo, como en la figura 10.4, toda partícula del objeto se mueve
en un círculo cuyo centro está en el eje de rotación.
Ya que el punto P en la figura 10.4 se mueve en un círculo, el vector velocidad traslacional
v S siempre es tangente a la trayectoria circular y por ende se llama velocidad tangencial.
La magnitud de la velocidad tangencial del punto P es por definición la rapidez tangencial
v ds/dt, donde s es la distancia que recorre este punto medida a lo largo de la trayectoria
circular. Al recordar que s r (ecuación 10.1a) y notar que r es constante, se obtiene
v
ds
dt
r du
dt
Figura 10.4 A medida que un
objeto rígido da vueltas en torno
al eje fijo a través de O, el punto
P tiene una velocidad tangencial
S
v que siempre es tangente a la
trayectoria circular de radio r.
Ya que d/dt (vea la ecuación 10.3), se sigue que
v rv (10.10)
Es decir, la rapidez tangencial de un punto sobre un objeto rígido en rotación es igual a
la distancia perpendicular de dicho punto desde el eje de rotación, multiplicada por la
rapidez angular. En consecuencia, aunque cada punto sobre el objeto rígido tiene la misma
rapidez angular, no todo punto tiene la misma rapidez tangencial porque r no es el
mismo para todos los puntos sobre el objeto. La ecuación 10.10 muestra que la rapidez
tangencial de un punto sobre el objeto en rotación aumenta a medida que uno se mueve
alejándose del centro de rotación, como se esperaría por intuición. Por ejemplo, el extremo
exterior de un palo de golf que se balancea se mueve mucho más rápido que el
mango.
La aceleración angular del objeto rígido en rotación se puede relacionar con la aceleración
tangencial del punto P al tomar la derivada en el tiempo de v:
Relación entre
aceleración tangencial
y angular
O
y
a t
a
a r
P
x
a t
a t
dv
dt
ra
r dv
dt
(10.11)
Es decir, la componente tangencial de la aceleración traslacional de un punto sobre un
objeto rígido en rotación es igual a la distancia perpendicular del punto desde el eje de
rotación, multiplicada por la aceleración angular.
En la sección 4.4 se encontró que un punto que se mueve en una trayectoria circular
se somete a una aceleración radial a r dirigida hacia el centro de rotación y cuya magnitud
es la de la aceleración centrípeta v 2 /r (figura 10.5). Ya que v r para un punto P en un
objeto en rotación, la aceleración centrípeta en dicho punto se puede expresar en términos
de rapidez angular como
v 2
a c
r
rv 2 (10.12)
El vector aceleración total en el punto es a S a S t a S r, donde la magnitud de a S r es la aceleración
centrípeta a c . Ya que a S es un vector que tiene una componente radial y una componente
tangencial, la magnitud de a S en el punto P sobre el objeto rígido en rotación es
a a t
2
a r
2
r 2 a 2 r 2 v 4 r a 2 v 4 (10.13)
Figura 10.5 A medida que un
objeto rígido gira respecto a un
eje fijo a través de O, el punto P
experimenta una componente
tangencial de aceleración
traslacional a t y una componente
radial de aceleración traslacional
a r . La aceleración traslacional de
este punto es S a S at S ar.
Pregunta rápida 10.3 Alex y Brian viajan en un carrusel. Alex viaja en un caballo en el
borde exterior de la plataforma circular, al doble de distancia del centro de la plataforma
circular que Brian, quien viaja en un caballo interior. i) Cuando el carrusel en rotación
a una rapidez angular constante, ¿cuál es la rapidez angular de Alex? a) el doble de
la de Brian, b) la misma que la de Brian, c) la mitad de la de Brian, d) imposible
de determinar. ii) Cuando el carrusel en rotación con una rapidez angular constante,
describa la rapidez tangencial de Alex con la misma lista de opciones.