Serway-septima-edicion-castellano

168 Capítulo 7 Energía de un sistema
Productos punto de
vectores unitarios
El producto punto es simple de evaluar a partir de la ecuación 7.2 cuando A S
perpendicular o paralelo a B S . Si A S es perpendicular a B S ( 90°), en tal caso A S B S
0. (La igualdad A S B S 0 también se cumple en el caso más trivial en el que A S o B S
es cero.) Si el vector A S es paralelo al vector B S y los dos apuntan en la misma dirección
( 0), por lo tanto A S B S AB. Si el vector A S es paralelo al vector B S pero los dos apuntan
en direcciones opuestas ( 180°), en consecuencia A S B S
AB. El producto escalar es
negativo cuando 90° 180°.
Los vectores unitarios î , ĵ y kˆ, que se definieron en el capítulo 3, se encuentran en las
direcciones x, y y z positivas, respectivamente, de un sistema coordenado de mano derecha.
Por lo tanto, se sigue de la definición de A S B S que los productos escalares de estos vectores
unitarios son
î # î ĵ # ĵ kˆ # kˆ 1 (7.4)
î # ĵ î # kˆ ĵ # kˆ 0 (7.5)
Las ecuaciones 3.18 y 3.19 establecen que dos vectores A S y B S
se expresan en forma de
vector unitario como
A S A x î A y ĵ A z kˆ
B S B x î B y ĵ B z kˆ
Con la información que se proporciona en las ecuaciones 7.4 y 7.5 se muestra que el producto
escalar de A S y B S se reduce a
A S # B
S
A x B x A y B y A z B z (7.6)
(Los detalles de la deducción se le dejan en el problema 5 al final del capítulo.) En el caso
especial en el que A S
B S , se ve que
A S # A
S
A x
2
A y
2
A z
2
A 2
es
Pregunta rápida 7.3
¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero respecto a la
correspondencia entre el producto punto de dos vectores y el producto de las magnitudes
de los vectores? a) A S B S es mayor que AB. b) A S B S es menor que AB. c) A S B S podría
ser mayor o menor que AB, dependiendo del ángulo entre los vectores. d) A S B S podría ser
igual a AB.
EJEMPLO 7.2
El producto escalar
Los vectores A S y B S se conocen por A S 2 î 3 ĵ y B S î 2 ĵ .
A) Determine el producto escalar A S B S .
SOLUCIÓN
No hay sistema físico a imaginar aquí. En vez de ello, es un ejercicio matemático que involucra dos vec-
Conceptualizar
tores.
Categorizar
sustitución.
Puesto que se tiene una definición para el producto escalar, este ejemplo se clasifica como un problema de
Sustituya las expresiones vectoriales específicas para A S y B S :
A S B S 12 î 3 ĵ 2 1 î 2 ĵ 2
2 î î 2 î 2 ĵ 3 ĵ î 3 ĵ 2 ĵ
2 112 4 102 3 102 6 112 2 6 4
Se obtiene el mismo resultado cuando se aplica directamente la ecuación 7.6, donde A x 2, A y 3, B x 1 y B y 2.