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Sección 2.8 Ecuaciones cinemáticas deducidas del cálculo 39
SOLUCIÓN
Sea y 0 y sustituya el tiempo del inciso A)
en la ecuación 2.16 para encontrar la altura
máxima:
y máx y y v x t
1
2a y t 2
y 0 120.0 m>s2 12.04 s2
1
2 1 9.80 m>s 2 212.04 s2 2 20.4 m
C) Determine la velocidad de la piedra cuando regresa a la altura desde la que se lanzó.
Sustituya los valores conocidos en la ecuación
2.17:
v y
2
v y
2
2a y 1y y 2
v y
2
120.0 m>s2 2 2 1 9.80 m>s 2 210 02 400 m 2 >s 2
v y
20.0 m>s
Cuando se saca la raíz cuadrada, se elige una raíz positiva o una negativa. Se elige la raíz negativa porque se sabe que la
piedra se mueve hacia abajo al punto . La velocidad de la piedra cuando llega de vuelta a su altura original es igual en
magnitud a su velocidad inicial pero es opuesta en dirección.
D) Encuentre la velocidad y posición de la piedra en t 5.00 s.
Calcule la velocidad en a partir de la ecuación
2.13:
v y v y a y t 20.0 m>s 1 9.80 m>s 2 215.00 s2 29.0 m>s
Use la ecuación 2.16 para encontrar la posición
de la piedra en t 5.00 s:
y y v y t
22.5 m
1
2a y t 2
0 120.0 m>s2 15.00 s2
1
2 1 9.80 m>s 2 215.00 s2 2
La elección del tiempo definida como t 0 es arbitraria y depende de usted seleccionarla. Como ejemplo de esta arbitrariedad,
elija t 0 como el tiempo en que la piedra está en el punto más alto de su movimiento. Luego resuelva los incisos
C) y D) de nuevo usando este nuevo instante inicial y note que sus respuestas son iguales que las anteriores.
¿Qué pasaría si? ¿Y si el edificio tuviese 30.0 m de altura en lugar de 50.0 m? ¿Qué respuestas cambiarían en los incisos
A) a D)?
Respuesta Ninguna de las respuestas cambiaría. Todo el movimiento tiene lugar en el aire durante los primeros 5.00 s.
(Observe que incluso para un edificio de 30.0 m de alto, la piedra está arriba del suelo en t 5.00 s.) Por lo tanto, la altura
del edificio no es un problema. Matemáticamente, si se observan de nuevo los cálculos, se ve que nunca se ingresó la altura
del edificio en ninguna ecuación.
2.8 Ecuaciones cinemáticas deducidas
del cálculo
Esta sección supone que el lector está familiarizado con las técnicas del cálculo integral.
Si aún no estudia integración en su curso de cálculo, debe saltar esta sección o cubrirla
después de que se familiarice con la integración.
La velocidad de una partícula que se mueve en línea recta se obtiene si se conoce su
posición como función del tiempo. En términos matemáticos, la velocidad es igual a la
derivada de la posición respecto al tiempo. También es posible encontrar la posición de
una partícula si se conoce su velocidad como función del tiempo. En cálculo, al procedimiento
que se usa para realizar esta tarea se le conoce como integración o como encontrar
la antiderivada. En términos gráficos, es equivalente a encontrar el área bajo una curva.
Ponga por caso que la gráfica v x –t para una partícula que se mueve a lo largo del eje x es
como se muestra en la figura 2.15. Divida el intervalo de tiempo t f t i en muchos pequeños
intervalos, cada uno de duración t n . A partir de la definición de velocidad promedio es
claro que el desplazamiento de la partícula durante cualquier intervalo pequeño, como el