Serway-septima-edicion-castellano

Sección 6.4 Movimiento en presencia de fuerzas resistivas 149
v 0 a g
v
v T
v
R
v v T
a 0
0.632v T
t
mg
a) b)
c)
Figura 6.13 a) Una pequeña esfera que cae a través de un líquido. b) Diagrama de movimiento de la
esfera mientras cae. Se muestran los vectores velocidad (rojo) y aceleración (violeta) para cada imagen
después de la primera. c) Gráfica rapidez-tiempo para la esfera. La esfera se aproxima a una rapidez
máxima (o terminal) v T y la constante de tiempo es el tiempo en el que llega a una rapidez de 0.632v T .
dv
dt
g
b
m v (6.4)
Esta ecuación se llama ecuación diferencial y los métodos para resolverla pueden no serle
familiares todavía. No obstante, note que, inicialmente, cuando v 0, la magnitud de la
fuerza resistiva también es cero y la aceleración de la esfera es simplemente g. Conforme
t aumenta, la magnitud de la fuerza resistiva aumenta y la aceleración disminuye. La aceleración
tiende a cero cuando la magnitud de la fuerza resistiva se aproxima al peso de la
esfera. En esta situación, la rapidez de la esfera tiende a su rapidez terminal v T .
La rapidez terminal se obtiene de la ecuación 6.3 al hacer a dv/dt 0. Esto produce
mg
mg bv T 0 o v T
b
La expresión para v que satisface la ecuación 6.4 con v 0 y t 0 es
Rapidez terminal
v
mg
b 11 e bt>m 2 v T 11 e t>t 2 (6.5)
Esta función se grafica en la figura 6.13c. El símbolo e representa la base del logaritmo
natural y también se llama número de Euler: e 2.718 28. La constante de tiempo m/b
(letra griega tau) es el tiempo en el que la esfera liberada del reposo en t 0 alcanza 63.2%
de su rapidez terminal: cuando t , la ecuación 6.5 produce v 0.632v T .
Se puede comprobar que la ecuación 6.5 es una solución de la ecuación 6.4 mediante
derivación directa:
dv
dt
d
dt c mg
b 11
e bt>m 2d
mg
b a 0
b
m e bt>m b
ge bt>m
(Véase la tabla del apéndice B.4 para la derivada de e elevada a alguna potencia.) Al sustituir
en la ecuación 6.4 estas dos expresiones para dv/dt y la expresión para v conocida por
la ecuación 6.5 se demuestra que la solución satisface la ecuación diferencial.