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Sección 18.3 Ondas estacionarias en una cuerda fija en ambos extremos 511
EJEMPLO 18.4
Cambio en la vibración de una cuerda con agua
Un extremo de una cuerda horizontal se amarra a una varilla oscilante y el otro extremo
pasa sobre una polea, como en la figura 18.11a. Una esfera de 2.00 kg de masa cuelga
en el extremo de la cuerda. La cuerda oscila en su segundo armónico. Un contenedor
de agua se eleva bajo la esfera de modo que ésta se sumerge por completo. En esta
configuración, la cuerda vibra en su quinto armónico, como se muestra en la figura
18.11b. ¿Cuál es el radio de la esfera?
SOLUCIÓN
Conceptualizar Imagine lo que sucede cuando la esfera se sumerge en el agua. La
fuerza de flotación actúa hacia arriba sobre la esfera, lo que reduce la tensión en la
cuerda. El cambio en tensión causa un cambio en la rapidez de las ondas sobre la cuerda,
que a su vez ocasiona un cambio en la longitud de onda. Esta longitud de onda
alterada produce que la cuerda vibre en su quinto modo normal en lugar de hacerlo
en el segundo.
Categorizar La esfera colgante se modela como una partícula en equilibrio. Una de
las fuerzas que actúan en ella es la fuerza de flotación del agua. También se aplica el
modelo de ondas bajo condiciones de frontera a la cuerda.
a)
b)
Figura 18.11 (Ejemplo 18.4)
a) Cuando la esfera cuelga en
aire, la cuerda vibra en su segundo
armónico. b) Cuando la esfera se
sumerge en agua, la cuerda vibra en
su quinto armónico.
Analizar Aplique el modelo de partícula en equilibrio a la
esfera de la figura 18.11a e identifique T 1 como la tensión
en la cuerda mientras la esfera cuelga en aire:
Aplique el modelo de partícula en equilibrio a la esfera de
la figura 18.11b, donde T 2 es la tensión en la cuerda mientras
la esfera se sumerge en agua:
F T 1 mg 0
T 1 mg 12.00 kg2 19.80 m>s 2 2 19.6 N
T 2 B mg 0
1) B mg T 2
La cantidad deseada, el radio de la esfera, aparecerá en la expresión para la fuerza de flotación B. No obstante, antes de
proceder en esta dirección, debe evaluar T 2 a partir de la información acerca de la onda estacionaria.
Escriba la ecuación para la frecuencia de una onda estacionaria
sobre una cuerda (ecuación 18.6) dos veces, una vez
antes de que la esfera se sumerja y otra después. Note que la
frecuencia f es la misma en ambos casos porque está determinada
por la varilla oscilante. Además, la densidad de masa
lineal y la longitud L de la porción oscilante de la cuerda
son las mismas en ambos casos. Divida las ecuaciones:
Resuelva para T 2 : T 2 a n 1
b
2T
n 1 a 2 2
2 5 b 119.6 N2 3.14 N
f
f
n 1
2L
n 2
2L
T 1
m
T 2
m
S 1
n 1
n 2
T 1
T 2
Sustituya este resultado en la ecuación 1): B mg T 2 19.6 N 3.14 N 16.5 N
Con la ecuación 14.5, exprese la fuerza de flotación en términos
del radio de la esfera:
B r agua gV esfera r agua g 1 4 3pr 3 2
Resuelva para el radio de la esfera:
r
1>3
3B
a
4pr agua g b 3 116.5 N2
1>3
a
4p 11 000 kg>m 3 219.80 m>s 2 2 b
7.38 10 2 m 7.38 cm
Finalizar Note que sólo ciertos radios de la esfera resultarán en que la cuerda vibre en un modo normal; la rapidez de las
ondas en la cuerda debe cambiar a un valor tal que la longitud de la cuerda sea un múltiplo entero de medias longitudes
de onda. Esta limitación es una característica de la cuantización que se introdujo en este capítulo: los radios de la esfera que
hacen vibrar la cuerda en un modo normal están cuantizados.