Serway-septima-edicion-castellano

Sección 18.3 Ondas estacionarias en una cuerda fija en ambos extremos 509
l n
2L
n
n 1, 2, 3, p (18.4)
donde el índice n se refiere al n–ésimo modo normal de oscilación. Estos nodos son los
modos posibles de oscilación de la cuerda. Se discuten brevemente los modos reales que se
excitan en una cuerda.
Las frecuencias naturales asociadas con los modos de oscilación se obtienen de la relación
f v/, donde la rapidez de onda v es la misma para todas las frecuencias. Al usar la
ecuación 18.4 se encuentra que las frecuencias naturales f n de los modos normales son
f n
v
l n
n v
2L
n 1, 2, 3, p (18.5)
Estas frecuencias naturales también se llaman frecuencias cuantizadas asociadas con la cuerda
oscilante fija en ambos extremos.
Ya que v T> m (véase la ecuación 16.18) para ondas en una cuerda, donde T es la
tensión en la cuerda y es su densidad de masa lineal, también se expresan las frecuencias
naturales de una cuerda tensa como
Longitudes de onda de
modos normales
Frecuencias de modos
normales como
funciones de la rapidez
de onda y la longitud de
la cuerda
f n
n
2L
T
m
n 1, 2, 3, p (18.6)
La frecuencia más baja de todas, f 1 , que corresponde a n 1, se llama fundamental o
frecuencia fundamental y se conoce por
f 1
1
2L
T
m
(18.7)
Las frecuencias de los modos restantes son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.
Las frecuencias de los modos normales que exhiben una correspondencia de
múltiplo entero como ésta forman una serie armónica, y los modos normales se llaman
armónicos. La frecuencia fundamental f 1 es la frecuencia del primer armónico, la frecuencia
f 2 2f 1 es la frecuencia del segundo armónico y la frecuencia f n nf 1 es la frecuencia
del n–ésimo armónico. Otros sistemas oscilatorios, como un parche de tambor, muestran
modos normales, pero las frecuencias no se relacionan como múltiplos enteros de una
fundamental (véase la sección 18.6). Por lo tanto, no se usa el término armónico en asociación
con estos tipos de sistemas.
Examine un poco más cómo se crean en una cuerda los diferentes armónicos. Para
excitar únicamente un solo armónico, la cuerda se debe distorsionar en una forma que
corresponda a la del armónico deseado. Después de liberarse, la cuerda vibra a la frecuencia
de dicho armónico. Sin embargo, esta maniobra es difícil de realizar y no es como se
excita la cuerda de un instrumento musical. Si la cuerda se distorsiona de tal modo que
su forma no sea sólo de un armónico, la vibración resultante incluye una combinación
de diferentes armónicos. Tal distorsión se presenta en instrumentos musicales cuando
la cuerda se puntea (como en una guitarra), se arquea (como en un chelo) o se golpea
(como en un piano). Cuando la cuerda se distorsiona en una forma no sinusoidal, sólo
las ondas que satisfacen las condiciones de frontera pueden persistir en la cuerda. Estas
ondas son los armónicos.
La frecuencia de una cuerda que define la nota musical que se toca es la fundamental.
La frecuencia de la cuerda se varía al cambiar la tensión de la cuerda o su longitud. Por
ejemplo, la tensión en las cuerdas de guitarra y violín se varía mediante un mecanismo de
ajuste de tornillo o clavijas de afinación ubicadas en el diapasón del instrumento. A medida
que aumenta la tensión, la frecuencia de los modos normales aumenta en concordancia
con la ecuación 18.6. Una vez que el instrumento se “afina”, los intérpretes varían la frecuencia
al mover sus dedos a lo largo del diapasón, lo que por tanto cambia la longitud
de la porción oscilatoria de la cuerda. A medida que la longitud se acorta, la frecuencia
aumenta porque, como especifica la ecuación 18.6, las frecuencias de modo normal son
inversamente proporcionales a la longitud de la cuerda.
Frecuencia de modos
normales como
funciones de la tensión
en la cuerda y la
densidad de masa lineal
Frecuencia fundamental
de una cuerda tensa