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Sección 9.1 Cantidad de movimiento lineal y su conservación 231
Resuelva esta ecuación para v S 1f y sustituya valores numéricos:
S
v1f
m 2
m 1
v S 2f
0.50 kg
a b150 î m>s2 0.42 î m>s
60 kg
Finalizar El signo negativo para S v1f indica que el arquero, después de disparar la flecha, se mueve hacia la izquierda en la
figura 9.2, en la dirección opuesta a la dirección de movimiento de la flecha, en concordancia con la tercera ley de Newton.
Ya que el arquero es mucho más pesado que la flecha, su aceleración y en consecuencia su velocidad son mucho más pequeños
que la aceleración y velocidad de la flecha.
¿Qué pasaría si? ¿Y si la flecha se dispara en una dirección que forma un ángulo con la horizontal? ¿Cómo cambiará la
velocidad de retroceso del arquero?
Respuesta La velocidad de retroceso disminuirá en magnitud porque sólo una componente de la velocidad de la flecha
está en la dirección x. La conservación de la cantidad de movimiento en la dirección x produce
m 1 v 1f m 2 v 2f cos u 0
lo que conduce a
m 2
v 1f v
m 2f cos u
1
Para 0, cos 1, y la velocidad final del arquero se reduce al valor cuando la flecha se dispara horizontalmente. Para
valores de distintos de cero, la función coseno es menor que 1 y la velocidad de retirada es menor que el valor calculado
para 0. Si 90°, en tal caso cos 0 y v 1f 0, de modo que no hay velocidad de retirada.
EJEMPLO 9.2
¿En realidad se puede ignorar la energía cinética de la Tierra?
En la sección 7.6 se afirmó que se puede ignorar la energía cinética de la Tierra cuando se considera la energía de un sistema
que consiste de la Tierra y una bola que se deja caer. Verifique esta afirmación.
SOLUCIÓN
Conceptualizar Imagine que deja caer una bola en la superficie de la Tierra. Desde su punto de vista, la bola cae mientras
la Tierra permanece fija. Sin embargo, por la tercera ley de Newton, la Tierra experimenta una fuerza hacia arriba y debido
a eso una aceleración hacia arriba mientras la bola cae. En el cálculo que sigue, se demostrará que este movimiento se
puede ignorar.
Categorizar El sistema se identifica como la bola y la Tierra. Ignore la resistencia del aire y otras fuerzas cualesquiera sobre
el sistema, de modo que el sistema está aislado en términos de cantidad de movimiento.
Analizar Esta afirmación se verificará al establecer una relación de la energía cinética de la Tierra respecto a la bola. Se
identifican v E y v b como las magnitudes de velocidad de la Tierra y la bola, respectivamente, después de que la bola cae a
través de cierta distancia.
Use la definición de energía cinética para establecer una
proporción:
1)
1
K E
K b
2
2m E v E
1 2
2m b v b
a m E
ba v 2
E
b
m b v b
La cantidad de movimiento inicial del sistema es cero, de
modo que la cantidad de movimiento final es igual a cero:
p i p f S 0 m b v b m E v E
Resuelva la ecuación para la relación de las magnitudes de
velocidad:
v E
v b
m b
m E
Sustituya esta expresión de v E v b en la ecuación 1):
K E
K b
a m E
m b
ba
m b
m E
b
2
m b
m E