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378 Capítulo 13 Gravitación universal
EJEMPLO 13.8
Rapidez de escape de un cohete
Calcule la rapidez de escape de la Tierra para una nave espacial de 5 000 kg y determine la energía cinética que debe tener
en la superficie de la Tierra para moverse infinitamente lejos de la Tierra.
SOLUCIÓN
Conceptualizar Imagine proyectar la nave espacial desde la superficie de la Tierra de modo que se mueva cada vez más
lejos, viajando más y más lentamente, con su rapidez tendiendo a cero. Sin embargo, su rapidez nunca llegará a cero, así
que el objeto nunca dará vuelta y regresará.
Categorizar
Este ejemplo es un problema de sustitución.
Aplique la ecuación 13.22 para encontrar la rapidez
de escape:
v esc
2GM T 2 16.67 10 11 N # m 2 >kg 2 215.98 10 24 kg2
R T 6.37 10 6 m
1.12 10 4 m>s
Evalúe la energía cinética de la nave espacial a partir
de la ecuación 7.16:
K
1
2mv 2 esc
3.14 10 11 J
1
2 15.00 10 3 kg2 11.12 10 4 m>s2 2
La rapidez de escape calculada corresponde más o menos a 25 000 mi/h. La energía cinética de la nave espacial es equivalente
a la energía liberada por la combustión de aproximadamente 2 300 galones de gasolina.
¿Qué pasaría si?
¿Y si quiere lanzar una nave espacial de 1 000 kg a la rapidez de escape? ¿Cuánta energía requeriría eso?
Respuesta En la ecuación 13.22, la masa del objeto que se mueve con la rapidez de escape no aparece. Por lo tanto, la
rapidez de escape para la nave de 1 000 kg es la misma que la de la nave de 5 000 kg. El único cambio en la energía cinética
se debe a la masa, así que la nave de 1 000 kg requiere un quinto de la energía de la nave de 5 000 kg:
K
1
5 13.14 10 11 J2 6.28 10 10 J
Las ecuaciones 13.21 y 13.22 se pueden aplicar a objetos proyectados desde cualquier
planeta. Es decir, en general, la rapidez de escape de la superficie de cualquier planeta
de masa M y radio R es
TABLA 13.3
Magnitudes de velocidad de
escape de las superficies
de los planetas, Luna y Sol
Planeta v esc (km/s)
Mercurio 4.3
Venus 10.3
Tierra 11.2
Marte 5.0
Júpiter 60
Saturno 36
Urano 22
Neptuno 24
Luna 2.3
Sol 618
v esc
2GM
R
(13.23)
En la tabla 13.3 se proporcionan magnitudes de velocidad de escape para los planetas,
la Luna y el Sol. Los valores varían de 2.3 km/s para la Luna a más o menos 618 km/s para
el Sol. Estos resultados, junto con algunas ideas de la teoría cinética de los gases (véase el
capítulo 21), explican por qué algunos planetas tienen atmósferas y otros no. Como se verá
más adelante, a una cierta temperatura, la energía cinética promedio de una molécula de
gas sólo depende de la masa de la molécula. Las moléculas más ligeras, como el hidrógeno
y el helio, tienen una rapidez promedio mayor que las moléculas más pesadas a la misma
temperatura. Cuando la rapidez promedio de las moléculas más ligeras no es en mucho
menor que la rapidez de escape de un planeta, una fracción significativa de ellas tienen
oportunidad de escapar.
Este mecanismo también explica por qué la Tierra no retiene moléculas de hidrógeno
y átomos de helio en su atmósfera pero sí retiene moléculas más pesadas, como oxígeno y
nitrógeno. Por otra parte, la rapidez de escape de Júpiter es tan grande que permite que
el planeta retenga hidrógeno, el principal componente de su atmósfera.