Serway-septima-edicion-castellano

A-14 Apéndice B Repaso matemático
TABLA B.4
Derivadas de varias funciones
d
dx 1a2 0
d
dx 1ax n 2 nax n 1
d
dx 1eax 2
d
1sen ax2
dx
d
1cos ax2
dx
d
1tan ax2
dx a d
1cot ax2
dx a d
1sec x2
dx
d
1csc x2
dx
ae ax
d
dx 1ln ax2 1
x
d
dx 1sen 1 ax2
d
dx 1cos 1 ax2
d
dx 1tan 1 ax2
a cos ax
a sin ax
sec2 ax
Nota: Los símbolos a y n
representan constantes.
csc2 ax
tan x sec x
cot x csc x
a
1 a 2 x 2
a
1 a 2 x 2
a
1 a 2 x 2
Propiedades especiales de la derivada
A. Derivada del producto de dos funciones. Si una función f (x) se conoce por el producto
de dos funciones, por decir, g(x) y h(x), la derivada de f (x) se define como
d
dx f 1x2
d
3g 1x2h 1x24
dx g
dh
dx
h dg
dx
(B.30)
B. Derivada de la suma de dos funciones. Si una función f(x) es igual a la suma de dos
funciones, la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas:
d
dx f 1x2
d
dg
dx 3g 1x2 h 1x24 dx
dh
dx
(B.31)
C. Regla de la cadena para cálculo diferencial. Si y f (x) y x g(z), en tal caso dy/dz
se puede escribir como el producto de dos derivadas:
dy
dz
dy
dx
dx
dz
(B.32)
D. La segunda derivada. La segunda derivada de y respecto a x se define como la
derivada de la función dy/dx (la derivada de la derivada). Por lo general se escribe
como
d 2 y
dx 2
d
dx a dy
dx b
(B.33)
Algunas de las derivadas de las funciones más comúnmente usadas se mencionan en
la tabla B.4.
EJEMPLO B.4
Suponga que y(x) (es decir, y como función de x) se conoce por
donde a y b son constantes. Se sigue que
de modo que
Al sustituir esto en la ecuación B.28 se obtiene
y 1x2 ax 3 bx c
y 1x ¢x2 a 1x ¢x2 3 b 1x ¢x2 c
a 1x 3 3x 2 ¢x 3x ¢x 2 ¢x 3 2 b 1x ¢x2 c
¢y y 1x ¢x2 y 1x2 a 13x 2 ¢x 3x ¢x 2 ¢x 3 2 b ¢x
dy
dx
dy
dx
¢y
lím
¢x S 0 ¢x
3ax 2
b
lím 33ax 2 3ax ¢x a ¢x 2 4 b
¢x S 0