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600 Capítulo 21 Teoría cinética de los gases
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 21.2
La función de distribución
La función de distribución
n V (E) se define en términos
del número de moléculas con
energía en el intervalo E a E +
dE antes que en términos del
número de moléculas con
energía E. Ya que el número
de moléculas es finito y el
número de posibles valores de
la energía es infinito, el número
de moléculas con una energía
exacta E puede ser cero.
Ley de distribución
de Boltzmann
21.5 Distribución de magnitudes
de velocidad moleculares
Hasta el momento sólo se han considerado valores promedio de las energías de moléculas
en un gas y no se ha abordado la distribución de energías entre moléculas. En realidad, el
movimiento de las moléculas es extremadamente caótico. Cualquier molécula individual
choca contra otras a una rapidez enorme, por lo general cien mil millones de veces por
cada segundo. Cada colisión resulta en un cambio en la rapidez y dirección de movimiento
de cada una de las moléculas participantes. La ecuación 21.7 muestra que las magnitudes de
velocidad moleculares rms aumentan conforme se incrementa la temperatura. ¿Cuál es
el número relativo de moléculas que tienen alguna característica como energía dentro
de cierto intervalo?
Esta cuestión se abordará al considerar la densidad de número n V (E). Esta cantidad,
llamada función de distribución, se define de modo que n V (E) dE es el número de moléculas
por unidad de volumen con energía entre E y E dE. (La proporción del número de
moléculas que tiene la característica deseada al número total de moléculas es la probabilidad
de que una molécula particular tenga dicha característica.) En general, a partir de
la mecánica estadística se encuentra que la densidad de número es
n V 1E 2 n 0 e E>k BT
(21.23)
donde n 0 se define tal que n 0 dE es el número de moléculas por unidad de volumen que
tiene energía entre E 0 y E dE. Esta ecuación, conocida como ley de distribución de
Boltzmann, es importante para describir la mecánica estadística de un gran número
de moléculas. Dicha ley afirma que la probabilidad de encontrar las moléculas en un estado
energético particular varía exponencialmente como el negativo de la energía dividida
entre k B T. Todas las moléculas caerán en el nivel energético más bajo si la agitación térmica
a una temperatura T no excita las moléculas a niveles energéticos superiores.
EJEMPLO 21.4
Excitación térmica de niveles energéticos atómicos
Como se explicó en la sección 21.4, los átomos pueden ocupar sólo ciertos niveles
energéticos discretos. Considere un gas a una temperatura de 2 500 K cuyos átomos
puedan ocupar sólo dos niveles energéticos separados por 1.50 eV, donde 1 eV (electrónvolt)
es una unidad de energía igual a 1.60 10 19 J (figura 21.9). Determine la
relación del número de átomos en el nivel energético superior al número en comparación
con el nivel energético inferior.
ENERGÍA
E 2
1.50 eV
SOLUCIÓN
Conceptualizar En su representación mental de este ejemplo, recuerde que sólo
dos posibles estados se permiten para el sistema del átomo. La figura 21.9 le ayuda a
visualizar los dos estados en un diagrama de niveles de energía. En este caso, el átomo
tiene dos posibles energías, E 1 y E 2 , donde E 1 E 2 .
E 1
Figura 21.9 (Ejemplo 21.4)
Diagrama de niveles de energía para
un gas cuyos átomos pueden ocupar
dos estados de energía.
Este ejemplo se clasifica como uno en el que se aplica la ley de distribución de Boltzmann a un sistema cuan-
Categorizar
tizado.
Analizar Establezca la proporción del número de
átomos en el nivel energético superior en relación
con el número en el nivel energético inferior y aplique
la ecuación 21.23 para expresar cada número:
1)
n V 1E 2 2
n V 1E 1 2
n 0 e E 2>k B T
n 0 e E 1>k B T
e 1E 2 E 1 2>k B T
Evalúe k B T en el exponente:
1 eV
k B T 11.38 10 23 J>K2 12 500 K2 a
b 0.216 eV
1.60 10 19 J
Sustituya este valor en la ecuación 1):
n V 1E 2 2
n V 1E 1 2
e 1.50 eV>0.216 eV e 6.96 9.52 10 4