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466 Capítulo 16 Movimiento ondulatorio
El lado derecho de la ecuación 16.25 se expresa en una forma diferente si advierte que la
derivada parcial de cualquier función se define como
0f
0x
f 1x ¢x2 f 1x2
lím
¢xS0 ¢x
Ecuación de onda lineal
para una cuerda
Al asociar f(x x) con (yx) B y f(x) con (yx) A , se ve que, en el límite x 0, la ecuación
16.25 se convierte en
m
T
0 2 y
0t 2
0 2 y
0x (16.26)
2
Esta expresión es la ecuación de onda lineal como se aplica a ondas en una cuerda.
La ecuación de onda lineal (ecuación 16.26) con frecuencia se escribe en la forma
Ecuación de onda lineal
en general
0 2 y
0x 2 1
v 2
0 2 y
(16.27)
0t 2
En general la ecuación 16.27 se aplica a diferentes tipos de ondas progresivas. Para ondas
en cuerdas y representa la posición vertical de los elementos de la cuerda. Para ondas sonoras
y corresponde a la posición longitudinal de los elementos de aire desde el equilibrio o
variaciones o en presión o en densidad del gas a través del que se propaga la onda sonora.
En el caso de ondas electromagnéticas y corresponde a los componentes del campo eléctrico
o magnético.
Se demostró que la función de onda sinusoidal (ecuación 16.10) es una solución de la
ecuación de onda lineal (ecuación 16.27). Aunque no se probó en este caso, la ecuación de
onda lineal es satisfecha por cualquier función de onda que tenga la forma y f (x vt).
Además, se vio que la ecuación de onda lineal es una consecuencia directa de la segunda
ley de Newton aplicada a cualquier elemento de una cuerda que transporta una onda progresiva.
Resumen
DEFINICIONES
Una onda sinusoidal unidimensional es aquella para la
cual las posiciones de los elementos del medio varían
en forma sinusoidal. Una onda sinusoidal que viaja
hacia la derecha se puede expresar con una función de
onda
y 1x, t2 A sen c 2p 1x vt2d (16.5)
l
donde A es la amplitud, es la longitud de onda y v es la
rapidez de onda.
El número de onda angular k y la frecuencia angular
de una onda se definen del modo siguiente:
2p
k
(16.8)
l
2p
v 2pf
(16.9)
T
donde T es el periodo de la onda y f es su frecuencia
En una onda transversal los elementos del medio se mueven en una dirección perpendicular a la dirección de
propagación. En una onda longitudinal los elementos del medio se mueven en una dirección paralela a la dirección
de propagación.