Serway-septima-edicion-castellano

292 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 10.6
La ecuación 10.25 parece familiar
La ecuación 10.25 parece muy
similar a la ecuación 10.10, así
que asegúrese de ser claro con
la diferencia. La ecuación 10.10
da la rapidez tangencial de un
punto en un objeto giratorio
ubicado a una distancia r de
un eje de rotación fijo si el
objeto está girando con rapidez
angular . La ecuación 10.25
da la rapidez traslacional del
centro de masa de un objeto en
rodamiento de radio R rodando
con rapidez angular .
su centro de masa se mueve una distancia lineal s R (vea la ecuación 10.1a). Por lo
tanto, la rapidez traslacional del centro de masa para movimiento de rodamiento puro
se conoce por
ds
v CM R du Rv (10.25)
dt dt
donde es la rapidez angular del cilindro. La ecuación 10.25 se cumple siempre que un
cilindro o esfera rueda sin deslizarse y es la condición para movimiento de rodamiento
puro. La magnitud de la aceleración lineal del centro de masa para movimiento de rodamiento
puro es
dv CM
a CM
R dv Ra (10.26)
dt dt
donde es la aceleración angular del cilindro.
Imagine que está móvil junto con un objeto que rueda con rapidez v CM , y permanece
en un marco de referencia en reposo respecto al centro de masa del objeto. Mientras observa
el objeto, lo verá en rotación pura alrededor de su centro de masa. La figura 10.25a
muestra las velocidades de puntos a la cabeza, en el centro y en la parte baja del objeto
según lo observa. Además de estas velocidades, cada punto sobre el objeto se mueve en
la misma dirección con rapidez v CM respecto a la superficie sobre la que rueda. La figura
10.25b muestra estas velocidades para un objeto que no gira. En el marco de referencia en
reposo respecto de la superficie, la velocidad de un punto determinado sobre el objeto es
la suma de las velocidades que se muestran en las figuras 10.25a y 10.25b. La figura 10.25c
muestra los resultados de sumar estas velocidades.
Observe que el punto de contacto entre la superficie y el cilindro en la figura 10.25c
tiene una rapidez traslacional cero. En este instante, el objeto que rueda es móvil en exactamente
la misma forma que si la superficie se retirara y el objeto fuera articulado en el
punto P y girara en torno a un eje que pasa a través de P. La energía cinética total de este
objeto que se piensa que está girando se expresa como
1
K 2I P v 2 (10.27)
donde I P es el momento de inercia en torno a un eje de rotación a través de P.
Ya que el movimiento objeto que se piensa que está girando es el mismo en este instante
que el del verdadero objeto en rodamiento, la ecuación 10.27 también da la energía cinética
del objeto en rodamiento. Al aplicar el teorema de ejes paralelos, se puede sustituir
I P I CM MR 2 en la ecuación 10.27 para obtener
1
K 2I CM v 2 1 2MR 2 v 2
Al usar v CM R, esta ecuación se puede expresar como
Energía cinética total de
un objeto en rodamiento
K
1
2I CM v 2 1 2
2Mv CM (10.28)
El término 1 2 I CM 2 representa la energía cinética rotacional del cilindro en torno a su centro
de masa, y el término 1 2 MV CM 2 representa la energía cinética que tendría el cilindro si
P
v R
P
v CM
P
v v CM R 2v CM
CM v 0
CM
v CM
CM
v v CM
v R
v CM
P
P
P
v 0
a) Rotación pura b) Traslación pura c) Combinación de
traslación y rotación
Figura 10.25 El movimiento de un objeto que rueda se puede modelar como una combinación de
traslación pura y rotación pura.