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270 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
distancia desde el origen a P y se mide contra las manecillas del reloj desde cierta línea de
referencia fija en el espacio, como se muestra en la figura 10.1a. En esta representación, el
ángulo cambia en el tiempo mientras r permanece constante. A medida que la partícula
se mueve a lo largo del círculo desde la línea de referencia, que está a un ángulo 0, se
mueve a través de una longitud de arco s, como en la figura 10.1b. La longitud de arco s
se relaciona con el ángulo mediante
s r
(10.1a)
u
s
r
(10.1b)
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 10.1
Recuerde el radián
En las ecuaciones rotacionales,
debe usar ángulos expresados en
radianes. No caiga en la trampa
de usar ángulos medidos
en grados en las ecuaciones
rotacionales.
O
y
r
,t f
i
f
,t i
Figura 10.2 Una partícula sobre
un objeto rígido en rotación se
mueve de a a lo largo del
arco de un círculo. En el intervalo
de tiempo t t f t i , la línea
radial de longitud r se mueve
a través de un desplazamiento
angular f i .
x
Ya que es la relación de una longitud de arco y el radio del círculo, es un número puro.
Sin embargo, por lo general, a se le da la unidad artificial radián (rad), donde un radián
es el ángulo subtendido por una longitud de arco igual al radio del arco. Ya que la circunferencia
de un círculo es 2r, se sigue de la ecuación 10.1b que 360° corresponde a un
ángulo de (2r/r) rad 2 rad. Por tanto, 1 rad 360°/2 57.3°. Para convertir un
ángulo en grados a un ángulo en radianes, se usa rad 180°, de modo que
u 1rad2
p
180° u 1grados2
Por ejemplo, 60° es igual a /3 rad y 45° es igual a /4 rad.
Ya que el disco en la figura 10.1 es un objeto rígido, a medida que la partícula se mueve
a través de un ángulo desde la línea de referencia, cualquier otra partícula sobre el objeto
da vueltas a través del mismo ángulo . En consecuencia, se puede asociar el ángulo con
todo el objeto rígido así como con una partícula individual, que permite definir la posición
angular de un objeto rígido en su movimiento rotacional. Se elige una línea de referencia
sobre el objeto, tal como una línea que conecte O y una partícula elegida sobre el objeto.
La posición angular del objeto rígido es el ángulo entre esta línea de referencia sobre
el objeto y la línea de referencia fija en el espacio, que con frecuencia se elige como el
eje x. Tal identificación es similar a la forma en que se define la posición de un objeto en
movimiento traslacional como la distancia x entre el objeto y la posición de referencia,
que es el origen, x 0.
Conforme la partícula en cuestión sobre el objeto rígido viaja de la posición a la posición
en un intervalo de tiempo t, como en la figura 10.2, la línea de referencia fija al
objeto cubre un ángulo f i . Esta cantidad se define como el desplazamiento
angular del objeto rígido:
¢u u f u i
La rapidez a la que se presenta este desplazamiento angular puede variar. Si el objeto rígido
gira rápidamente, este desplazamiento puede ocurrir en un intervalo breve de tiempo.
Si da vueltas lentamente, este desplazamiento se presenta en un intervalo de tiempo más
largo. Estas diferentes relaciones de rotación se cuantifican al definir la rapidez angular
promedio prom (letra griega omega) como la relación del desplazamiento angular de un
objeto rígido al intervalo de tiempo t durante el que se presenta el desplazamiento:
Rapidez angular
promedio
u f u i ¢u
v prom
t f t i ¢t
(10.2)
En analogía con la rapidez lineal, la rapidez angular instantánea se define como el
límite de la rapidez angular promedio conforme t tiende a cero:
Rapidez angular
instantánea
v
¢u
lím
¢t
¢tS0
du
dt
(10.3)
La rapidez angular tiene unidades de radianes por segundo (rad/s), que se pueden escribir
como s 1 porque los radianes son adimensionales. se considera positiva cuando
aumenta (movimiento contra las manecillas del reloj en la figura 10.2) y negativa cuando
disminuye (en sentido de las manecillas del reloj en la figura 10.2).